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什么是时间复杂度？

作者：互联网

　　时间复杂度（Time complexity）是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数. 时间复杂度常用大O表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

　　常见的时间复杂度

　　

常见的算法时间复杂度由小到大依次为

.　　

 

 

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时间复杂度的意义

 

究竟什么是时间复杂度呢？让我们来想象一个场景：

 

某一天，小灰和大黄同时加入了一个公司......

 

 

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一天过后，小灰和大黄各自交付了代码，两端代码实现的功能都差不多。

 

大黄的代码运行一次要花100毫秒，内存占用5MB。

 

小灰的代码运行一次要花100秒，内存占用500MB。

 

于是......

 

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由此可见，衡量代码的好坏包括两个非常重要的指标：

 

1.运行时间

2.占用空间

 

 

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基本操作执行次数

 

关于代码的基本操作执行次数，我们用四个生活中的场景来做一下比喻：

 

场景1. 给小灰一条长10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整个面包需要几天？

 

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答案自然是 3 X 10 = 30天。

 

如果面包的长度是 N 寸呢？

 

此时吃掉整个面包，需要 3 X n = 3n 天。

 

如果用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T（n） = 3n。

 

 

场景2.  给小灰一条长16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余长度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

 

这个问题翻译一下，就是数字16不断地除以2，除几次以后的结果等于1？这里要涉及到数学当中的对数，以2位底，16的对数，可以简写为log16。

 

因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

 

如果面包的长度是 N 寸呢？

 

需要 5 X logn = 5logn天，记作 T（n） = 5logn。

 

 

场景3.  给小灰一条长10寸的面包和一个鸡腿，小灰每2天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢？

 

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答案自然是2天。因为只说是吃掉鸡腿，和10寸的面包没有关系 。

 

如果面包的长度是 N 寸呢？

 

无论面包有多长，吃掉鸡腿的时间仍然是2天，记作 T（n） = 2。

 

 

 

场景4.  给小灰一条长10寸的面包，小灰吃掉第一个一寸需要1天时间，吃掉第二个一寸需要2天时间，吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢？

 

答案是从1累加到10的总和，也就是55天。

 

如果面包的长度是 N 寸呢？

 

此时吃掉整个面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

 

记作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。

 

 

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上面所讲的是吃东西所花费的相对时间，这一思想同样适用于对程序基本操作执行次数的统计。刚才的四个场景，分别对应了程序中最常见的四种执行方式：

 

场景1， T（n） = 3n，执行次数是线性的。



    

  1. 

    void eat1(int n){
    

    2. 

  2. 

       for(int i=0; i<n; i++){;
    

    3. 

  3. 

           System.out.println("等待一天");
    

    4. 

  4. 

           System.out.println("等待一天");
    

    5. 

  5. 

           System.out.println("吃一寸面包");
    

    6. 

  6. 

       }
    

    7. 

  7. 

    }
    

    8. 



vo


 


场景2， T（n） = 5logn，执行次数是对数的。




    

  1. 

     
    

    2. 

  2. 

     
    

    3. 

  3. 

    void eat2(int n){
    

    4. 

  4. 

       for(int i=1; i<n; i*=2){
    

    5. 

  5. 

           System.out.println("等待一天");
    

    6. 

  6. 

           System.out.println("等待一天");
    

    7. 

  7. 

           System.out.println("等待一天");
    

    8. 

  8. 

           System.out.println("等待一天");
    

    9. 

  9. 

           System.out.println("吃一半面包");
    

    10. 

  10. 

       }
    

    11. 

  11. 

    }
    

    12. 

  12. 

     
    

    13. 

  13. 

     
    

    14. 



 


场景3，T（n） = 2，执行次数是常量的。




    

  1. 

     
    

    2. 

  2. 

     
    

    3. 

  3. 

    void eat3(int n){
    

    4. 

  4. 

       System.out.println("等待一天");
    

    5. 

  5. 

       System.out.println("吃一个鸡腿");
    

    6. 

  6. 

    }
    

    7. 

  7. 

     
    

    8. 

  8. 

     
    

    9. 



 


场景4，T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，执行次数是一个多项式。




    

  1. 

     
    

    2. 

  2. 

     
    

    3. 

  3. 

    void eat4(int n){
    

    4. 

  4. 

       for(int i=0; i<n; i++){
    

    5. 

  5. 

           for(int j=0; j<i; j++){
    

    6. 

  6. 

               System.out.println("等待一天");
    

    7. 

  7. 

           }
    

    8. 

  8. 

           System.out.println("吃一寸面包");
    

    9. 

  9. 

       }
    

    10. 

  10. 

    }
    

    11. 



 


渐进时间复杂度


 


有了基本操作执行次数的函数 T（n），是否就可以分析和比较一段代码的运行时间了呢？还是有一定的困难。


 


比如算法A的相对时间是T（n）= 100n，算法B的相对时间是T（n）= 5n^2，这两个到底谁的运行时间更长一些？这就要看n的取值了。


 


所以，这时候有了渐进时间复杂度（asymptotic time complectiy）的概念，官方的定义如下：


 


若存在函数 f（n），使得当n趋近于无穷大时，T（n）/ f（n）的极限值为不等于零的常数，则称 f（n）是T（n）的同数量级函数。


 


记作 T（n）= O（f（n）），称O（f（n））为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。


 


渐进时间复杂度用大写O来表示，所以也被称为大O表示法。


 


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如何推导出时间复杂度呢？有如下几个原则：


    

  1. 

    如果运行时间是常数量级，用常数1表示。
    

    2. 

  2. 

    只保留时间函数中的最高阶项
    

    3. 

  3. 

    如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。
    

    4. 



 


 


让我们回头看看刚才的四个场景。


 


场景1：


T（n） = 3n 


最高阶项为3n，省去系数3，转化的时间复杂度为：


T（n） =  O（n）


 


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场景2：


T（n） = 5logn 


最高阶项为5logn，省去系数5，转化的时间复杂度为：


T（n） =  O（logn）


 


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场景3：


T（n） = 2


只有常数量级，转化的时间复杂度为：


T（n） =  O（1）


 


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场景4：


T（n） = 0.5n^2 + 0.5n


最高阶项为0.5n^2，省去系数0.5，转化的时间复杂度为：


T（n） =  O（n^2）


 


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这四种时间复杂度究竟谁用时更长，谁节省时间呢？稍微思考一下就可以得出结论：


 


O（1）< O（logn）< O（n）< O（n^2）


 


 


在编程的世界中有着各种各样的算法，除了上述的四个场景，还有许多不同形式的时间复杂度，比如：


O（nlogn）, O（n^3）, O（m*n），O（2^n），O（n！）


 


今后遨游在代码的海洋里，我们会陆续遇到上述时间复杂度的算法。


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时间复杂度的巨大差异


 


 


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我们来举过一个栗子：


 


算法A的相对时间规模是T（n）= 100n，时间复杂度是O(n)


算法B的相对时间规模是T（n）= 5n^2，时间复杂度是O(n^2)，


 


算法A运行在小灰家里的老旧电脑上，算法B运行在某台超级计算机上，运行速度是老旧电脑的100倍。


 


那么，随着输入规模 n 的增长，两种算法谁运行更快呢？


 


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从表格中可以看出，当n的值很小的时候，算法A的运行用时要远大于算法B；当n的值达到1000左右，算法A和算法B的运行时间已经接近；当n的值越来越大，达到十万、百万时，算法A的优势开始显现，算法B则越来越慢，差距越来越明显。


 


这就是不同时间复杂度带来的差距。


 


 


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标签：面包,复杂度,System,算法,时间,println,什么	

来源： https://www.cnblogs.com/mike-mei/p/14967031.html