5.3 图的矩阵表示
作者:互联网
图的矩阵表示
前面在二元关系中学过,图可以使用矩阵表示。现在再来学习更多的矩阵表示方法。
关联矩阵
先来回顾一下关联的定义:
设e=(u,v)(<u,v>)是无向(有向)图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点,e与u ( v)关联。
无向图的关联矩阵
定义
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数,称(mij)n*m为G的关联矩阵,记为M(G) 。
可以看出,关联矩阵考虑的是顶点和边的关系,每行表示顶点,每边表示列。
例子
上图的关联矩阵为
性质
可有如下性质:
(1) 每一列恰好有两个1或一个2;(每条边提供两个度,自环对同一个顶点提供2两个度)
(2) ∑ j = 1 m m i j = d ( v i ) , i = 1 , 2 , . . . , n \sum _{j=1}^{m}m_{ij}=d(v_i), i=1,2,...,n ∑j=1mmij=d(vi),i=1,2,...,n;(每一行加起来就是对应顶点的度数,也就是关联总数)
(3) ∑ i , j m i j = 2 m \sum _{i,j}m_{ij}=2m ∑i,jmij=2m;(全部加起来就是度数之和,根据握手定理,度数和为边数的两倍)
(4)Vi为孤立点当且仅当第i行全为0;(无边关联即为孤立点)
(5)平行边的列相同.(平行边两端点相同)
有向图的关联矩阵
定义
例子
性质
可得类似性质
(1) 每一列恰好有一个1和一个-1;(一条有向边提供一个出度,一个入度)
(2) 第i行1 的个数等于 d + ( v i ) d^+(v_i) d+(vi), -1 的个数等于 d − ( v i ) d^-(v_i) d−(vi)
(3) 1的总个数等于-1的总个数, 且都等于m
(4) 平行边对应的列相同
有向图的邻接矩阵
定义
定义$ 设有向图 D = < V , E > , V = { v 1 , v 2 , … , v n } , E = { e 1 , e 2 , … , e m } , a i j ( 1 ) 为 顶 点 v i 邻 接 到 顶 点 v j 边 的 条 数 , ( a i j ( 1 ) ) n × n 称 为 D 的 邻 接 矩 阵 , 记 作 A ( D ) , 简 记 为 A D=<V,E>, V=\{v_1, v_2, …, v_n\}, E=\{e_1, e_2, …, e_m\}, a^{(1)}_{ij} 为顶点v_i邻接到顶点v_j边的条数,(a^{(1)}_{ij})_{n \times n} 称为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},aij(1)为顶点vi邻接到顶点vj边的条数,(aij(1))n×n称为D的邻接矩阵,记作A(D),简记为A
注意:这里定义为邻接到,即为始点指向终点的通路,不能反过来。
例子
性质
可见我们可以使用邻接矩阵表示通路长度。
我们前面在二元关系当中也学习过,矩阵的幂次可以表示关系的幂运算,也就是关系的复合,而关系的复合本质上是一种传递,那么这种传递可以表示为首尾相连的通路形式,也就是说,邻接矩阵A可以表示通路长度为1的通路,那么
A
2
=
A
×
A
A^2=A\times A
A2=A×A可以表示通路长度为2的个数,那么.
A
3
=
A
2
×
A
A^3=A^2\times A
A3=A2×A可以表示通路长度为3的通路个数。
长度为l的通路表示
看个例子
其中简单验证一下我们也可知道,这里
A
2
=
A
×
A
A^2=A\times A
A2=A×A,
A
3
=
A
2
×
A
A^3=A^2\times A
A3=A2×A,
A
4
=
A
3
×
A
A^4=A^3\times A
A4=A3×A.
当然还有另外一种方法,就是直接在图中找长度为对应的通路个数。例如:
A
2
A^2
A2里的第二行第一列元素,即为
v
2
v_2
v2到
v
1
v_1
v1通路长度为2(通路经过2条边)的个数,为3条。值得注意,这里的自环可以循环灵活使用。
那么在这里我们可以解决类似以下的问题:
(1) 长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条?其中回路分别为多少条?
(2) 长度小于或等于4的通路为多少条?其中有多少条回路?
将对应矩阵里面的元素直接求和即可
长度 通路 回路
1 8 1
2 11 3
3 14 1
3 17 3
合计 50 8
其中回路为特殊的通路(自己到自己的通路)
有向图的可达矩阵
定义
可达矩阵描述的是一种连通性,强调的是通路的存在,并不在意通路的长度是多少,这里一定要和邻接矩阵区别开。
例子
标签:表示,通路,矩阵,邻接矩阵,times,5.3,长度,关联矩阵 来源: https://blog.csdn.net/sinat_20471177/article/details/118093546