数值分析(13)：常微分方程的数值解法之线性多步法
作者：互联网
线性多步法
1. 引言
除了Runge-Kutta方法是否还有提高精度的方法？
回答是肯定的，就是采用前面多个信息，比如:
用 x n , x n − 1 , . . . , x n − l x_n,x_{n-1},...,x_{n-l} xn,xn−1,...,xn−l上的近似 y n , y n − 1 , . . . , y n − l y_n,y_{n-1},...,y_{n-l} yn,yn−1,...,yn−l来求 y n + 1 y_{n+1} yn+1 ,这样的数值方法称为多步方法。
2. 线性多步法基本概念
2.1 迭代表达式
首先来看个线性二步法的例子，所谓“二步”，就是迭代式右边包括 y n , y n + 1 y_{n}, y_{n+1} yn,yn+1来求 y n + 2 y_{n+2} yn+2。
推导过程如下：
线性多步法的一般形式为：
特别地，根据 β \beta β是否为0，将迭代表达式分为显式法和隐式法：
线性单步法是线性k步法的特例，例如 k = 1 k=1 k=1有
不同 α 0 , β 0 , β 1 \alpha_0, \beta_0, \beta_1 α0,β0,β1可得各种显式、隐式单步法。
2.2 局部截断误差，阶，主局部截断误差
局部截断误差，阶，主局部截断误差的定义和单步法完全一致。处理方式就是使用泰勒展开，可能会有二元函数的泰勒展开。
局部截断误差的定义如下：
主局部截断误差的定义如下：
p阶方法的定义如下：
这个定义包含了线性k步法（当然包含线性单步法)，特别包含了线性隐式单步方法。
3. 一些常见的线性多步法
3.1 显式Adams方法
显式Adams方法的特点是积分区间与插值区间无交集。其迭代表达式的推导如下所示：
来看一个例题：
求解过程如下：
3.2 隐式Adams方法
隐式Adams方法的积分区间是插值区间的最后一段。它的收敛阶数通常比显式Adams方法高。
对比显式Adams方法和隐式Adams方法的收敛阶数
p
p
p：
3.3 预估一校正方法
对于隐式方法，每一节点上近似值用迭代方法得到，这大大增加计算量。若用一个恰当的显式方法,求出 y n + k y_{n+k} yn+k作为隐式方法的预估值，然后用隐式方法对预估值作校正，并以这个校正值作为所求节点上的 y n + k y_{n+k} yn+k，那么将克服迭代法的缺点。
用Euler方法作预估，用梯形方法作校正的预估校正方法。
通常使用预估校正方法有:
1.Adams-Bashforth-Moulton方法
2.The Milne-Simpson Method
3.The Hamming method
至此数值分析的内容全部结束。
参考文献：
关治，陆金甫《数值方法》
标签：13,Adams,yn,截断误差,数值,线性,步法,方法,隐式 来源： https://blog.csdn.net/qq_41773233/article/details/117714525