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【洛谷P7599】雨林跳跃

作者:互联网

题目

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7599
在苏门答腊岛的热带雨林中,有 \(N\) 棵树排成一排,从左到右依次用 \(0\) 到 \(N-1\) 进行编号,其中 \(i\) 号树的高度为 \(H[i]\),且所有树的高度互不相同
Pak Dengklek 正在训练一只猩猩,让她能够从一棵树上跳到另一棵树上。对于一次跳跃,猩猩可以从一棵树,向左或向右跳到比当前这棵树高的第一棵树上。形式化地,如果猩猩当前在 \(x\) 号树,那么当且仅当满足下列条件之一时,她能够跳到 \(y\) 号树上:

Pak Dengklek 有 \(Q\) 个跳跃计划,每个计划用四个整数 \(A\),\(B\),\(C\) 和 \(D\)(\(A \le B<C \le D\))来描述。对于每个计划,Pak Dengklek 想知道猩猩是否能够从某棵树 \(s\)(\(A \le s \le B\))出发,经过若干次跳跃,到达某棵树 \(e\)(\(C \le e \le D\))。若该计划可行,Pak Dengklek 还想知道可行方案中猩猩需要的最少跳跃次数。
你需要实现下列函数:

void init(int N, int[] H)

int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D)

\(n\leq 2\times 10^5;Q\leq 10^5\)。

思路

首先考虑 \(A=B,C=D\) 时怎么做。
不难发现可以从 \(A\) 到 \(C\) 的充要条件是 \([A,C)\) 中最高的树都没有 \(C\) 高。
最优方案一定是先不断往左右两边更高的跳,直到下一次跳的高度超过 \(C\) 的高度。然后不断往右跳直到 \(C\) 为止。
所以我们预处理 \(f[i][j],g[i][j],h[i][j]\) 分别表示从 \(i\) 开始跳 \(2^j\) 次,其中每次往左右更高的跳 / 往右跳 / 往左跳能跳到的位置;再维护一个 ST 表用于求区间最大值,然后就可以单次 \(O(\log n)\) 查询了。

接下来考虑 \(C=D\) 时怎么做。
我们找到 \(C\) 左边第一个高度大于 \(C\) 的位置 \(k\)。如果 $k\geq $ 则无解,否则从 \([\max(k+1,A),B]\) 开始跳一定最优。因为其他点可以跳到的,这个位置一定也可以通过不会更多的次数跳到。

最后考虑 \(100\%\) 的数据,也就是 \(A\leq B<C\leq D\)。
依然找到 \([B,C)\) 中最高点 \(p\),然后再找 \([C,D]\) 中第一个高于 \(p\) 的位置 \(x\);再找向左第一个高于 \(x\) 的位置 \(q\),再找到 \([C,D]\) 中一个高于 \(q\) 的位置 \(y\)。
可以证明,最优解最后到达的一定是 \(x\) 或 \(y\)。

所以这样可能的终点就只有 \(2\) 个,用 \(C=D\) 的方法分别求出来后取较小值即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=200010,LG=18;
int n,Q,a[N],f[N][LG+1],g[N][LG+1],h[N][LG+1],mx[N][LG+1],lg[N];
stack<int> st;

void init(int N, vector<int> H)
{
	n=N;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=H[i-1],mx[i][0]=i;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		while (st.size() && a[st.top()]<a[i]) st.pop();
		if (st.size()) h[i][0]=st.top();
		st.push(i);
	}
	while (st.size()) st.pop();
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		while (st.size() && a[st.top()]<a[i]) st.pop();
		if (st.size()) g[i][0]=st.top();
		st.push(i);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][0]=(a[h[i][0]]>a[g[i][0]]) ? h[i][0] : g[i][0];
		if (i>1) lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for (int j=1;j<=LG;j++)
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
			g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
			h[i][j]=h[h[i][j-1]][j-1];
			if (i+(1<<j)-1<=n)
				mx[i][j]=(a[mx[i][j-1]]>a[mx[i+(1<<j-1)][j-1]]) ? mx[i][j-1] : mx[i+(1<<j-1)][j-1];
		}
}

int findmax(int l,int r)
{
	int k=lg[r-l+1];
	return (a[mx[l][k]]>a[mx[r-(1<<k)+1][k]]) ? mx[l][k] : mx[r-(1<<k)+1][k];
}

int binary(int l,int r,int x)
{
	if (r<=x)
	{
		for (int i=LG;i>=0;i--)
			if (h[x][i] && h[x][i]>r) x=h[x][i];
		if (h[x][0]>=l) return h[x][0];
	}
	else
	{
		for (int i=LG;i>=0;i--)
			if (g[x][i] && g[x][i]<l) x=g[x][i];
		if (g[x][0]<=r) return g[x][0];
	}
	return 0;
}

int query(int l,int r,int k)
{
	if (!k) return -1;
	int p=h[k][0];
	if (p>r) return -1;
	int q=findmax(max(p+1,l),r),ans=0;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (f[q][i] && a[f[q][i]]<=a[k])
			q=f[q][i],ans+=(1<<i);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (g[q][i] && a[g[q][i]]<=a[k])
			q=g[q][i],ans+=(1<<i);
	return ans;
}

int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D)
{
	A++; B++; C++; D++;
	int p=findmax(B,C-1),x=binary(C,D,p);
	int q=binary(1,B,x),y=binary(C,D,q);
	int c1=query(A,B,x),c2=query(A,B,y);
	if (c1==-1) return c2;
	if (c2==-1) return c1;
	return min(c1,c2);
}
/*
int main()
{
	int N, Q;
	assert(2 == scanf("%d %d", &N, &Q));
	std::vector<int> H(N);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		assert(1 == scanf("%d", &H[i]));
	init(N, H);
	for (int i = 0; i < Q; ++i)
	{
		int A, B, C, D;
		assert(4 == scanf("%d %d %d %d", &A, &B, &C, &D));
		printf("%d\n", minimum_jumps(A, B, C, D));
	}
	return 0;
}
*/

标签:LG,洛谷,leq,int,雨林,猩猩,--,&&,P7599
来源: https://www.cnblogs.com/stoorz/p/14888819.html