538，剑指 Offer-和为s的连续正数序列
作者：互联网
You can know everything in the world, but the only way you're findin' out that one is by givin' it a shot.
你可以了解世间万物，但追根溯源的唯一途径便是亲身尝试。
问题描述
输入一个正整数target，输出所有和为target的连续正整数序列（至少含有两个数）。
序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。
示例 1：
输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]
示例 2：
输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]
限制：
-
1 <= target <= 10^5
滑动窗口解决
滑动窗口，这里也叫双指针，因为题中要求的是正整数，连续的，并且至少含有两个数。所以我们使用两个指针，一个left指向1，一个right指向2，他们分别表示窗口的左边界和右边界。然后计算窗口内元素的和。
-
如果窗口内的值大于target，说明窗口大了，left往右移一步。
-
如果窗口内的值小于target，说明窗口小了，right往右移一步。
-
如果窗口内的值等于target，说明找到了一组满足条件的序列，把它加入到列表中
我们以示例1为例来看下视频演示
因为至少有两个数，所以窗口的左边界left <= target / 2，题中是把找到的序列添加到列表list中，最后在转化为二维数组，来看下代码
1public int[][] findContinuousSequence(int target) {
2 int left = 1; // 滑动窗口的左边界
3 int right = 2; // 滑动窗口的右边界
4 int sum = left + right; // 滑动窗口中数字的和
5 List<int[]> res = new ArrayList<>();
6 //窗口的左边是窗口内的最小数字，只能小于等于target / 2,
7 //因为题中要求的是至少含有两个数
8 while (left <= target / 2) {
9 if (sum < target) {
10 //如果窗口内的值比较小，右边界继续向右移动，
11 //来扩大窗口
12 sum += ++right;
13 } else if (sum > target) {
14 //如果窗口内的值比较大，左边边界往右移动，
15 //缩小窗口
16 sum -= left++;
17 } else {
18 //如果窗口内的值正好等于target，就把窗口内的值记录
19 //下来，然后窗口的左边和右边同时往右移一步
20 int[] arr = new int[right - left + 1];
21 for (int k = left; k <= right; k++) {
22 arr[k - left] = k;
23 }
24 res.add(arr);
25 //左边和右边同时往右移一位
26 sum -= left++;
27 sum += ++right;
28 }
29 }
30 //把结果转化为数组
31 return res.toArray(new int[res.size()][]);
32}
数学公式解决
我们假设有一组序列满足条件，其中序列的第一个数是a，他们分别是a，a+1，a+2，……，a+(n-1)，总共有n项，根据求和公式我们可以得出S=n*a+n*(n-1)/2，而S其实就是target，我们简写成t，来研究一下这个公式
要想求a，我们可以通过循环枚举n的值，只有a是正整数的时候才满足条件，那么这个循环什么时候终止呢，其实很简单，当分子t-n*(n-1)/2小于等于0的时候就可以终止了。
因为题中说了最少要有2个数，所以n从2开始，来看下代码
1public int[][] findContinuousSequence(int target) {
2 List<int[]> res = new ArrayList<>();
3 int n = 2;
4 //死循环
5 while (true) {
6 int total = target - n * (n - 1) / 2;
7 //当分子小于等于0的时候，退出循环
8 if (total <= 0)
9 break;
10 //如果首项是正整数，满足条件
11 if (total % n == 0) {
12 int[] arr = new int[n];
13 //找出首项的值
14 int startValue = total / n;
15 for (int k = 0; k < n; k++) {
16 arr[k] = startValue + k;
17 }
18 res.add(arr);
19 }
20 //继续找
21 n++;
22 }
23 //反转，比如当target等于9的时候，结果是
24 //[[4,5],[2,3,4]]，但题中要求的是不同
25 // 序列按照首个数字从小到大排列，所以这里反转一下
26 Collections.reverse(res);
27 //把list转化为数组
28 return res.toArray(new int[res.size()][]);
29}
数学的另一种解决方式
我们来思考这样一个问题
-
假如target是两个连续数字的和，那么这个序列的首项就是(target-1)/2。
-
假如target是三个连续数字的和，那么这个序列的首项就是(target-1-2)/3。
-
假如target是四个连续数字的和，那么这个序列的首项就是(target-1-2-3)/4。
-
……
证明也很好证，我们随便找一个，假如target是四个连续的序列和，那么这四个数字就是
a，a+1,a+2,a+3
也就是
4*a+1+2+3=target
所以他们的首项
a=(target-1-2-3)/4。
搞懂了上面的原理代码就简单了，我们来看下
1public int[][] findContinuousSequence(int target) {
2 List<int[]> res = new ArrayList<>();
3 //因为至少是两个数，所以target先减1
4 target--;
5 for (int n = 2; target > 0; n++) {
6 //找到了一组满足条件的序列
7 if (target % n == 0) {
8 int[] arr = new int[n];
9 //找出首项的值
10 int startValue = target / n;
11 for (int k = 0; k < n; k++) {
12 arr[k] = startValue + k;
13 }
14 res.add(arr);
15 }
16 target -= n;
17 }
18 Collections.reverse(res);
19 //把list转化为数组
20 return res.toArray(new int[res.size()][]);
21}
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