数学笔记28——不定式和洛必达法则

我们已经能够处理很多极限，但是对于一些特殊情况的极限问题，过去的方法显得有些苍白。在先前内容的铺垫下，我们终于可以处理一些不定型的极限问题了，其中包括“0/0”型、“∞/∞”型，这一切都是通过“洛必达法则”实现的。从此，我们甚至能够判断“∞的大小”。

不定式

把某些型如0/0或∞/∞的极限成为型不定式。其它常见的不定式还有0⁰、0·∞、∞⁰、1^∞、∞-∞

　　例如是一个0⁰型不定式，底数和指数是两股相反的力量，底数想让表达式极限趋近于0，指数想让表达式趋近于1，二者互相较劲，看谁的力量更胜一筹。

洛必达法则

0/0型的极限

　　先来看一个例子：

　　这无法用直接代入的方法求解了，是一个典型的0/0型极限。可以试着用长除法解决：

　　虽然能够求得极限，但计算过程太过繁琐，下面尝试使用更简单的办法。

　　先将极限做一次变形：

　　如果令f(x) = x¹⁰ – 1，f(1) = 0，那么

　　这正是导数的定义。

　　同理，令g(x) = x² – 1， g’(x) = 2x

公式

　　把上面的方法更系统化，就离洛必达法则更进一步了。

　　如果 是0/0的极限，那么有f(a) = g(a) = 0，该极限的求解过程如下：

　　这就是洛必达法则：

　　上式成立的前提是：f(a) = g(a) = 0；等号右侧的极限存在。第二点有点微妙——右端的存在证明了左端的存在。

示例1

　　

示例2

 　　

　　这一步仍未解决问题，还是0/0型，于是再次使用洛必达法则：

与线性逼近的比较

　　如果用线性逼近（线性逼近可参考数学笔记6——线性近似和二阶近似）计算上节的示例，则在x→0时：

　　利用二阶近似，在x→0时：

　　结果与使用洛必达法则计算的相等。

洛必达法则的推广

　　前面提到洛必达法则的基本定理：

 

　　上式成立的前提是：f(a) = g(a) = 0；等号右侧的极限存在。第二点有点微妙——右端的存在证明了左端的存在。

　　定理的推广

　　⑴ 该定理所有条件中，对a = ±∞的情况，结论依然成立。

　　⑵ 该定理第一条件中，对f(a)和g(a)，极限皆为 ±∞的情况，结论依然成立。

　　简单地说，洛必达法则仅对0/0和∞/∞直接适用，其它构型需要经过一定的演算和变形，使其变为0/0或∞/∞。

示例1

 

　　0·(-∞)型像是两个式子在比赛，看谁的变化速度更快，但这不能直接使用洛必达法则，所以原式需要经过演化：

 

　　这次变成了(-∞/∞)，即∞/∞型，可以直接使用洛必达法则：

 

　　当x→0⁺时，x的变化速度要快于lnx。

示例2

 

　　当x→∞时，x比e^px变化的缓慢。

示例3

 

　　一个典型的∞/∞型，但是在使用洛必达法则时会遇到麻烦：

 

　　这并没有实质性的进展。当然，我们可以推算出，在经过连续使用洛必达法则后，分子依然趋近∞，分母最终将变成一个常数，所以最终结果是∞。

　　这个结果并不直观，我们尝试使用更直观的方式得出结论，这需要一点代数技巧。

 

　　由此可以得出这样的结论：指数函数的变化率胜过任何幂函数。

示例4

 

　　结论：对数函数比任何幂函数都变化的更慢。

示例5

 

　　这是0⁰型，不能直接使用洛必达法则，所以仍需进行演化，这里的演化方式是使用e作为底数：

 

　　在示例1中得知，

注意事项

陷阱

 

　　0/0型可以直接使用洛必达法则，求导也很简单，因此很高兴的计算如下：

 

　　根据线性逼近重新计算一下：

 

　　得到了两个截然相反的结果，一定是其中某个环节出现了问题。在第一个计算中：

 

　　左边的式子是1/0型，不能使用洛必达法则！所以这个等式是错的。实际上可以直接得到左侧等于∞的结论。

不要忘记基础知识

 

　　∞/∞是符合洛必达法则的，但在这个例子中没有必要去使用洛必达法则。分子的最高次项是x⁵，分母是x⁴，所以分子是分母的高阶无穷，因此可以直接得出结论，结果是∞。

　　这个例子给我们的提示就是：不要忘记基础知识。

洛必达表法则不适用的情况

　　

　　∞/∞型，使用洛必达法则：

　　看起来更复杂了。cosx的取值范围是[-1, 1]，所以当x→∞时可以直接求得极限：

　　不要忘记基础知识。

综合示例

 示例1

　　

　　0/0型，

 示例2

　　

 

 示例3

　　

　　0/0型，

 

 示例4

 　　

　　∞/∞型，

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