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数学笔记26——参数方程

作者:互联网

参数方程的示例

  现在有两个函数,x = acost和y = asint,如果将t看作时间,我们感兴趣的第一个问题是这两个函数将形成什么曲线?

x2 + y2 = a2cos2t + a2sint = a2

  很明显是一个圆。

  另一个关注的问题是随着时间t的变化,在这个圆上的运动方向,包括什么时间上位于圆的哪个位置,可以把它想象成行星的轨道。

  可以通过描点解决。

  t = 0,        (x, y ) = (acos0, sin0) = (a, 0)

  t = π/2, (x, y) = (acosπ/2, sinπ/2) = (0, a)

  t = π,     (x, y) = (acosπ, sinπ) = (-a, 0)

  t = 3π/2,          (x, y) = (acos3π/2, sin3π/2) = (0, -a)

  由此可以得知,点在圆上逆时针运动:

  最后一个感兴趣的问题是弧长,也就是在一段时间内移动的路程:

  弧长关于时间的变化率:

 

  由此推出:

 

  将这个结果应用到上面的问题:

 

  这可以看作是点绕圆运动的速率,由于a是一个常数,所以它是匀速运动的。

  如果现在有一个新的速度,x = acoskt,y = asinkt,则:

 

  速度改变了,但运动仍是匀速的。

  以上是一个简单的参数方程的推导过程,我们的推导依据是弧长公式:

参数方程包含的信息

  两个函数x = 2sint,y = cost,根据这两个函数可以得到:

x2/4 + y2 = sin2t + cos2t = 1

  在平面直角坐标系中这是一个椭圆,除此之外还可以得到很多特定的信息,比如起点、轨迹、方向、速率和弧长。

  如果去t = 0为起点,则:

  t = 0,         (x, y) = (0, 1)

  t = π/2, (x, y) = (2, 0)

  t =π,        (x, y) = (0, -1)

  t =3π/2, (x, y) = (-2, 0)

  点按照顺时针方向走椭圆上运动:

  点在一路上的速率:

 

  点运行一周需要的时间是2π,需要对ds积分,所以椭圆的弧长:

 

  这是一个高等积分了,没有可以用初等函数表示的原函数,所以这就是弧长的答案,也是为什么中学没有学习过椭圆周长公式的原因。

新的思维模式

  在上面的例子中,x = 2sint,y = cost,虽然我们最终将它们联合在一起形成直角坐标系中的曲线,但是需要注意的是,这里的x和y分别代表两个不同的函数,我们不再认为y是x的函数,即y ≠ y(x)。这是很明显的,因为同一个x将对应两个y值。此时参数t的作用便凸显出来,通过t建立方程,描述整个曲线。t是没有出现在图像上的另一个维度,所以我们将t想象时间:一个点沿着椭圆跑,在不同的时间到达不同的位置。

  在这个例子中,我们要抛开“y是x的函数”的概念,这里y和x都是t的函数,y = y(t),x = x(t),它们有了不同的意义,x不再是自变量,它也是函数。理解了这一点,就可以站在更高的层面看待问题。

椭球的表面积

  现在需要计算x = 2sint,y = cost形成的椭圆绕y轴旋转,形成的椭球的表面积。

  依然使用圆盘法,对弧长ds进行积分:

示例

  根据参数方程计算曲线在1 ≤ t ≤ 2时的长度,y = t – 1/t, x = t + 1/t

标签:26,椭圆,函数,弧长,方程,笔记,参数,2sint
来源: https://blog.51cto.com/u_15260715/2876885