数学笔记26——参数方程

参数方程的示例

　　现在有两个函数，x = acost和y = asint，如果将t看作时间，我们感兴趣的第一个问题是这两个函数将形成什么曲线？

x2 + y2 = a2cos2t + a2sint = a2

　　很明显是一个圆。

　　另一个关注的问题是随着时间t的变化，在这个圆上的运动方向，包括什么时间上位于圆的哪个位置，可以把它想象成行星的轨道。

　　可以通过描点解决。

　　t = 0,        (x, y ) = (acos0, sin0) = (a, 0)

　　t = π/2, (x, y) = (acosπ/2, sinπ/2) = (0, a)

　　t = π,     (x, y) = (acosπ, sinπ) = (-a, 0)

　　t = 3π/2,          (x, y) = (acos3π/2, sin3π/2) = (0, -a)

　　由此可以得知，点在圆上逆时针运动：

　　最后一个感兴趣的问题是弧长，也就是在一段时间内移动的路程：

　　弧长关于时间的变化率：

 

　　由此推出：

 

　　将这个结果应用到上面的问题：

 

　　这可以看作是点绕圆运动的速率，由于a是一个常数，所以它是匀速运动的。

　　如果现在有一个新的速度，x = acoskt，y = asinkt，则：

 

　　速度改变了，但运动仍是匀速的。

　　以上是一个简单的参数方程的推导过程，我们的推导依据是弧长公式：

参数方程包含的信息

　　两个函数x = 2sint，y = cost，根据这两个函数可以得到：

x2/4 + y2 = sin2t + cos2t = 1

　　在平面直角坐标系中这是一个椭圆，除此之外还可以得到很多特定的信息，比如起点、轨迹、方向、速率和弧长。

　　如果去t = 0为起点，则：

　　t = 0,         (x, y) = (0, 1)

　　t = π/2, (x, y) = (2, 0)

　　t =π,        (x, y) = (0, -1)

　　t =3π/2, (x, y) = (-2, 0)

　　点按照顺时针方向走椭圆上运动：

　　点在一路上的速率：

 

　　点运行一周需要的时间是2π，需要对ds积分，所以椭圆的弧长：

 

　　这是一个高等积分了，没有可以用初等函数表示的原函数，所以这就是弧长的答案，也是为什么中学没有学习过椭圆周长公式的原因。

新的思维模式

　　在上面的例子中，x = 2sint，y = cost，虽然我们最终将它们联合在一起形成直角坐标系中的曲线，但是需要注意的是，这里的x和y分别代表两个不同的函数，我们不再认为y是x的函数，即y ≠ y(x)。这是很明显的，因为同一个x将对应两个y值。此时参数t的作用便凸显出来，通过t建立方程，描述整个曲线。t是没有出现在图像上的另一个维度，所以我们将t想象时间：一个点沿着椭圆跑，在不同的时间到达不同的位置。

　　在这个例子中，我们要抛开“y是x的函数”的概念，这里y和x都是t的函数，y = y(t)，x = x(t)，它们有了不同的意义，x不再是自变量，它也是函数。理解了这一点，就可以站在更高的层面看待问题。

椭球的表面积

　　现在需要计算x = 2sint，y = cost形成的椭圆绕y轴旋转，形成的椭球的表面积。

　　依然使用圆盘法，对弧长ds进行积分：

示例

　　根据参数方程计算曲线在1 ≤ t ≤ 2时的长度，y = t – 1/t, x = t + 1/t

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