数学笔记25——弧长和曲面面积

积分的概念来源于实际应用。对一个函数积分可以理解为求曲线下的面积，但积分的作用不仅仅如此。作为牛顿一生最伟大的发明，有了积分，我们就可以去计算曲线的弧长，可以去求区域的面积，也可以去计算很多物理问题。

弧长

弧长的定义

　　曲线上两点之间的曲线长度称为弧长，现在我们试图用积分定义弧长。

　　将上图的曲线分为n段，用直线连接相邻的两点，当Δx→0时，两点间的线段长度趋近于弧长：

　　将s定义为弧长，则：

 

　　用微分表示上式，可以去掉约等号：

　　习惯上，上式去掉括号：

　　其它两种常见的变形：

 

　　由此得到a、b两点间弧长的表达式：

 

线性函数的弧长

　　如果有曲线y = mx，则y’ = m，  ，曲线在0 ≤ x ≤ 10处的弧长：

 

　　如上图所示，可以抛开积分直接计算两点间的弧长，其结果和积分运算相等。对于这个例子来说，结果是显然的，但是其表达的含义是：如果我们能对线性函数推导出这些公式，那么微积分也能告诉我们应该怎么做。微积分的思想就存在于这个简单的，甚至不需要微积分计算的过程中。所有这些工具，微分、积分、极限，可以应对任何曲线，因为我们将曲线分割成了无限小，这就是建立积分的思想。

单位圆的弧长

　　计算下图单位圆上的弧长s：

　　单位圆中：

　　根据弧长公式：

　　接下来就是求解积分的问题。

 

　　也可以写成：a = sins

　　在单位圆中，弧长s = 弧长夹角θ，a = rsinθ = sinθ，上面的计算结果与定义相同。

  

抛物线的弧 

　　求曲线y = x²在x∈[0, a]上的弧长。

 

　　接下来是求解积分问题，令x = tanθ/2　

　　令u = secθ， v’ = sec²θ， v = tanθ,  u’ = secθtanθ

　　最终弧长：

曲面面积

求解方法

　　曲线y = x²绕x轴旋转一周，求在x在[0, a]上，立体图形的外表面积。

 

　　图形类似于喇叭口，可以使用圆盘法求解，只是将dx换成ds，上图中圆盘的表面积：

 

　　总面积：

 

　　这个复杂的积分还是交给计算机吧。

球面面积

　　可以将球看作为半径为a的半圆y² + x² = a²绕x轴旋转一周形成的图形，计算x在[x₁, x₂]处形成圆盘的球面面积：

  

　　整个球体的表面积：

 

　　结果与球体表面积公式一致。

综合示例

示例1

　　计算y = x^3/2在0 ≤ x ≤ 4处的弧长。

 

y = x^3/2

 

示例2

　　如下图所示，求圆心为R，半径为r的圆绕y轴旋转一周形成的环的表面积

 

　　由于是绕y轴旋转，表面积的微分是da = 2πxds，接下来就是如何求解ds和da的积分。

　　上半圆的表面积：

 

　　又是求解积分的问题了，令u = x - R

 

　　令u = rsint，du = rcostdt；u的取值范围是[r, -r]，所以t的取值范围是[π/2, -π/2]

 

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