证明实对称正定矩阵A的Gauss-Seidel法必定收敛（完整过程）

Solution:

​ \quad 将 n n n阶实对称矩阵 A A A设为 D − L − L T D-L-L^T D−L−LT,其中 D D D是 A A A的所有主对角元素构成对角矩阵， − L -L −L是 A A A的所有主对角线以下的元素构成的严格下三角矩阵。

​ \quad 此时 G a u s s − S e i d e l Gauss-Seidel Gauss−Seidel法的迭代矩阵为 ( D − L ) − 1 L T (D-L)^{-1}L^T (D−L)−1LT，设其特征值为 λ \lambda λ，则有 ( D − L ) − 1 L T x = λ x (D-L)^{-1}L^Tx=\lambda x (D−L)−1LTx=λx，即 L T x = λ ( D − L ) x L^Tx=\lambda (D-L)x LTx=λ(D−L)x，两边同乘 x T x^T xT,有 x T L T x = λ x T ( D − L ) x x^TL^Tx=\lambda x^T(D-L)x xTLTx=λxT(D−L)x，设 x T L T x = p − q i x^TL^Tx=p-qi xTLTx=p−qi，两边取转置有 x L x T = p + q i xLx^T=p+qi xLxT=p+qi。

​ \quad 于是 x T A x = x T ( D − L − L T ) x = x T D x − x T ( L + L T ) x = x T D x − 2 p x^TAx=x^T(D-L-L^T)x=x^TDx-x^T(L+L^T)x=x^TDx-2p xTAx=xT(D−L−LT)x=xTDx−xT(L+LT)x=xTDx−2p。

​ \quad A A A的特征值 λ = x T L T x x T ( D − L ) x = p − q i x T D x − x T L x = p − q i x T D x − p − q i \lambda=\frac{x^TL^Tx}{x^T(D-L)x}=\frac{p-qi}{x^TDx-x^TLx}=\frac{p-qi}{x^TDx-p-qi} λ=xT(D−L)xxTLTx​=xTDx−xTLxp−qi​=xTDx−p−qip−qi​，由于 D D D是正定矩阵，所以有 ∣ λ ∣ 2 = λ ⋅ λ ˉ = p 2 + q 2 ( x T D x − p ) 2 + q 2 |\lambda|^2=\lambda\cdot\bar{\lambda}=\frac{p^2+q^2}{(x^TDx-p)^2+q^2} ∣λ∣2=λ⋅λˉ=(xTDx−p)2+q2p2+q2​。

​ \quad 又因为 A A A是正定矩阵，所以 x T A x = x T D x − 2 p > 0 x^TAx=x^TDx-2p\gt0 xTAx=xTDx−2p>0，即 x T D x − p > p x^TDx-p\gt p xTDx−p>p。

​ \quad 所以 ∣ λ ∣ 2 = p 2 + q 2 ( x T D x − p ) 2 + q 2 < p 2 + q 2 p 2 + q 2 = 1 |\lambda|^2=\frac{p^2+q^2}{(x^TDx-p)^2+q^2}\lt\frac{p^2+q^2}{p^2+q^2}=1 ∣λ∣2=(xTDx−p)2+q2p2+q2​<p2+q2p2+q2​=1， λ < 1 \lambda<1 λ<1。

​ \quad 谱半径 ρ = m a x 1 ≤ i ≤ n λ < 1 \rho=max_{1\le i\le n}{\lambda}\lt1 ρ=max1≤i≤n​λ<1， G a u s s − S e i d e l Gauss-Seidel Gauss−Seidel法收敛。

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