Python计算机视觉编程--第四章

照相机模型与增强现实

• • 一 、针孔照相机模型
  • • 1.1 照相机矩阵
    • 1.2 三维点的投影
    • 1.3 照相机矩阵的分解
    • 1.4 照相机中心
  • 二、照相机标定

一 、针孔照相机模型

针孔照相机模型（有时称为射影照相机模型）是计算机视觉中广泛使用的照相机模型。对于大多数应用来说，针孔照相机模型简单，并且具有足够的精准度。这个名字来源于一种类似暗箱机的照相机。该照相机从一个小孔采集射到暗箱内部的光线。在光线投影到图像平面之前，从唯一一个点经过，也就是照相机中心C。

由图像坐标轴和三维坐标系中的x轴和y轴对齐平行的假设，我们可以得出针孔照相机的投影性质。照相机的光学坐标轴和z轴一致，该投影几何一颗简化成相似三角形。在投影之前通过旋转和平移变换，对该坐标系加入三维点，会出现完整的投影变换。
在针孔照相机中，三维点X投影为图像点x（两个点都是用齐次坐标表示的），如下所示：

这里，3×4的矩阵P为照相机矩阵（或投影矩阵）。注意，在齐次坐标系中，三维点X的坐标由4个元素组成，X=[X,Y,Z,W]。这里的标量λ是三维点的逆深度。如果我们打算在齐次坐标中将最后一个数值归一化为1，那么就会使用到它。

1.1 照相机矩阵

照相机矩阵可以分解为：

其中，R是描述照相机方向的旋转矩阵，t是描述照相机中心位置的三维平移向量，内标定矩阵K描述照相机的投影性质。

标定矩阵仅和照相机自身的情况相关，通常情况下可以写成：

图像平面和照相机中心间的距离为焦距f。当像素数组在传感器上偏斜的时候，需要用到倾斜参数s。在大多数情况下，s可以设置成0.也就是说：

这里，我们使用了另外的记号fx和fy，两者关系为fx=αfy。

纵横比例参数α是在像素元素非正方形的情况下使用的。通常情况下，我们还可以默认设置α=1.经过这些假设，标定矩阵变为：

除焦距之外，标定矩阵中剩余的唯一参数为光心（有时称为主点）的坐标c=[cx,cy]，也就是光线坐标轴和图像平面的交点。因为光心通常在图像的中心，并且图像的坐标是从左上角开始计算的，所以光心的坐标常接近于图像宽度和高度的一半。特别强调一点，这这个例子中，唯一未知的变量是焦距f。

1.2 三维点的投影

下面来创建照相机类，用来处理我们对照相机和投影建模所需要的全部操作：

from scipy import linalg
from pylab import  *

class Camera(object):
    """表示针孔照相机的类"""

    def __init__(self, P):
        """初始化 P = K[R|t] 照相机模型"""
        self.P = P
        self.K = None   # 标定矩阵
        self.R = None   # 旋转
        self.t = None   # 平移
        self.c = None   # 照相机中心

    def project(self, X):
        """X（4×n的数组）的投影点，并进行坐标归一化"""
        x = dot(self.P, X)
        for i in range(3):
            x[i] /= x[2]
        return x

    def rotation_matrix(a):
        """创建一个用于围绕向量a轴旋转的三维旋转矩阵"""
        R = eye(4)
        R[:3,:3] = linalg.expm([0,-a[2],a[1]],[a[2],0,-a[0]],[-a[1],a[0],0])
        return R

1.3 照相机矩阵的分解

如果给定方程（1.1节中）所示的照相机矩阵P，我们需要恢复内参数K以及照相机的位置t和姿势R。矩阵分块操作称为因子分解。这里，我们将使用一种矩阵因子分解的方法，称为RQ因子分解。

将下面的方法添加到Carmera类中：

    def factor(self):
        """将照相机矩阵分解为 K,R,t,其中, R=K[R|t]"""

        # 分解前3×3的部分
        K,R = linalg.rq(self.P[:,:3])

        # 将K的对角线元素设为正值
        T = diag(sign(diag(K)))
        if linalg.det(T) < 0:
            T[1,1] *= -1
        self.K = dot(K,T)
        self.R = dot(T,R)   # T的逆矩阵为其自身
        self.t = dot(linalg.inv(self.K), self.P[:,3])
        
        return self.K, self.R, self.t

RQ因子分解的结果并不是唯一的。在该因子分解中，分解的结果存在符号二义性。由于我们需要限制旋转矩阵R为正定的（否则，旋转坐标轴即可），所以如果需要，我们可以在求解到的结果中加入变换T来改变符号。

在示例照相机上运行下面的代码，观察照相机矩阵分解的效果：

if __name__=='__main__':

    K = array([[1000,0,500],[0,1000,300],[0,0,1]])
    tmp = Camera.rotation_matrix([0,0,1])[:3,:3]
    Rt = hstack((tmp,array([[50],[40],[30]])))
    cam = Camera(dot(K,Rt))

    print(K,Rt)
    print(cam.factor())

1.4 照相机中心

给定照相机投影矩阵P，我们可以计算出空间上照相机的所在位置。照相机的中心C，是一个三维点，满足约束PC=0。对于投影矩阵为P=K[R|t]的照相机，有：

照相机的中心可以由下述式子来计算：

注意，如预期一样，照相机的中心和内标定矩阵K无关。

下面的代码可以按照上面公式计算照相机的中心。将其添加到Camera类中，该方法会返回照相机的中心：

    def center(self):
        """计算并返回照相机的中心"""
        if self.c is not None:
            return self.c
        else:
            # 通过因子分解计算c
            self.factor()
            self.c = -dot(self.R.T, self.t)
            return self.c

二、照相机标定

标定照相机是指计算出该照相机的内参数。在我们的例子里，是指计算矩阵K。如果你的应用要求高精度，那么可以扩展该照相机模型，使其包含径向畸变和其他条件。对于大多数应用来说，我们在1.1节中s=0的K公式中的简单照相机模型已经足够。标定照相机的标准方法，拍摄多幅平面期盼模型的图像，然后进行处理计算。

标签：Python,投影,self,编程,矩阵,标定,--,分解,照相机
来源： https://blog.csdn.net/fishbb0406/article/details/117173084