概率统计Python计算（7）全概率公式

1. numpy数组的按元素计算

设完备事件组 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1​,A2​,⋯,An​作为引发事件 B B B的 n n n个因素。诸因素的先验概率构成的序列为 P ( A 1 ) , P ( A 2 ) , ⋯   , P ( A n ) P(A_1),P(A_2),\cdots,P(A_n) P(A1​),P(A2​),⋯,P(An​)，在诸因素 A i A_i Ai​发生的条件下，事件 B B B的似然度构成序列 P ( B ∣ A 1 ) , P ( B ∣ A 2 ) , ⋯   , P ( B ∣ A n ) P(B|A_1),P(B|A_2),\cdots,P(B|A_n) P(B∣A1​),P(B∣A2​),⋯,P(B∣An​)，这两个序列是等长（所含元素个数相同）的。序列对应元素积之和 ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) \sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)，即为用全概率公式计算的事件 B B B的概率 P ( B ) P(B) P(B)。Python的numpy包提供的数组array类的两个等长（所含元素个数相同）对象之间就支持这样的“按元素”运算：对应元素分别计算，得到一个新的数组（如图所示）。

运算包括常见的加+、减-、乘*、除/、幂**以及各种函数计算。例如以下代码示例了等长数组间的四则运算：

import numpy as np
x=np.array([2, 3, 4])
y=np.array([1, 2, 3])
print(x+y)
print(x-y)
print(x*y)
print(x/y)

运行程序，输出

[3 5 7]
[1 1 1]
[ 2  6 12]
[2.         1.5        1.33333333]

2. 全概率公式计算

利用numpy的这一技术，将计算全概率公式的算法表示成如下的函数定义：

def totalProb(prioProbs, likelihood):   #参数类型为np.array
    return (prioProbs*likelihood).sum() #按元素乘法然后求和

上列程序定义了计算全概率公式的函数totalProb，该函数有两个numpy数组类型的参数：表示完备组先验概率序列的prioProb和表示似然度序列的likelihood。函数计算先验概率序列prioProb和似然度序列likelihood按元素的积（prioProbs*likelihood），然后调用该数组的sum方法对所得序列求和（(prioProbs*likelihood).sum()），最后将所得值作为返回值返回（第2行）。
例1 设某仓库有一批产品，已知其中甲、乙、丙三个工厂生产的产品依次占 50 % 50\% 50%， 30 % 30\% 30%和 20 % 20\% 20%，且甲、乙、丙厂的次品率分别为 1 / 10 1/10 1/10， 1 / 15 1/15 1/15和 1 / 20 1/20 1/20。现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率。\
解：设事件“从仓库中任取一件产品是正品”为 B B B。 A 1 , A 2 , A 3 A_1, A_2, A_3 A1​,A2​,A3​分别表示事件：“产品是甲、乙、丙厂生产的”，则 A 1 , A 2 , A 3 A_1, A_2, A_3 A1​,A2​,A3​构成一个完备事件组，可视为事件 B B B发生的3个因素。按题设 P ( A 1 ) = 1 / 2 P(A_1)=1/2 P(A1​)=1/2， P ( A 2 ) = 3 / 10 P(A_2)=3/10 P(A2​)=3/10， P ( A 3 ) = 1 / 5 P(A_3)=1/5 P(A3​)=1/5（各因素的前验概率），且由 P ( B ˉ ∣ A 1 ) = 1 / 10 P(\bar{B}|A_1)=1/10 P(Bˉ∣A1​)=1/10， P ( B ˉ ∣ A 2 ) = 1 / 15 P(\bar{B}|A_2)=1/15 P(Bˉ∣A2​)=1/15， P ( B ˉ ∣ A 3 ) = 1 / 20 P(\bar{B}|A_3)=1/20 P(Bˉ∣A3​)=1/20，得 P ( B ∣ A 1 ) = 9 / 10 P(B|A_1)=9/10 P(B∣A1​)=9/10， P ( B ∣ A 2 ) = 14 / 15 P(B|A_2)=14/15 P(B∣A2​)=14/15及 P ( B ∣ A 3 ) = 19 / 20 P(B|A_3)=19/20 P(B∣A3​)=19/20（B相对于各因素的似然率）。
运用全概率公式计算事件“从仓库中任取一件产品是正品”的概率 P ( B ) P(B) P(B)，实际上就是将各因素的先验概率序列 [ P ( A 1 ) , P ( A 2 ) , P ( A 3 ) ] [P(A_1), P(A_2), P(A_3)] [P(A1​),P(A2​),P(A3​)]与似然率序列 [ P ( B ∣ A 1 ) , P ( B ∣ A 2 ) , P ( B ∣ A 3 ) ] [P(B|A_1), P(B|A_2), P(B|A_3)] [P(B∣A1​),P(B∣A2​),P(B∣A3​)]逐元素相乘，然后求和而得：
P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) = 1 2 ⋅ 9 10 + 3 10 ⋅ 14 15 + 1 5 ⋅ 19 20 = 23 / 25. P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{10}+\frac{3}{10}\cdot\frac{14}{15}+\frac{1}{5}\cdot\frac{19}{20}=23/25. P(B)=P(A1​)P(B∣A1​)+P(A2​)P(B∣A2​)+P(A3​)P(B∣A3​)=21​⋅109​+103​⋅1514​+51​⋅2019​=23/25.
下列程序验算本例。

import numpy as np                          #导入numpy
from sympy import Rational as R             #导入Rational类
prioProb=np.array([R(1,2), R(3,10), R(1,5)])
likelihood=np.array([R(9,10), R(14,15), R(19,20)])
p=totalProb(prioProb, likelihood)
print('P(B)=%s'%p)

第3、4行分别将 A 1 , A 2 , A 3 A_1,A_2,A_3 A1​,A2​,A3​的先验概率序列 { 1 / 2 , 3 / 10 , 1 / 5 } \{1/2,3/10,1/5\} {1/2,3/10,1/5}和对 B B B的似然度序列 { 9 / 10 , 14 / 15 , 19 / 20 } \{9/10,14/15,19/20\} {9/10,14/15,19/20}分别设置为numpy（第1行导入）的array类数组prioProbs和likelihood。第5行调用函数totalProb，传递参数prioProb和likelihood，返回值赋予p。第7行输出计算结果：

P(B)=23/25

标签：10,概率,20,Python,公式,A1,A2,15,likelihood
来源： https://blog.csdn.net/u012958850/article/details/116350305