【算法笔记·数论】快速幂，加速幂运算，超级详细。C/C++
作者：互联网
前言：
欢迎光临大千小熊的博客，我是一只又会MMD又会C++的正派熊，B站和CSDN同步更新，欢迎关注。
幂运算含义：
形如
x
n
x^n
xn 指数是x，底数是x的一个幂。（
n
n
n是变量）
例如
2
4
=
16
，
2
2
=
4
2^4=16，2^2=4
24=16，22=4这样的运算。
计算幂运算的方法：
例如，我们想去计算
2
4
2^4
24。我们可以循环4次，另res=1，然后res*=4。
但是这样的算法是不高效率的。
这是因为，我们想计算
2
∗
2
∗
2
∗
2
2*2*2*2
2∗2∗2∗2的时候，人类一般都会用
2
∗
2
=
4
2*2=4
2∗2=4，然后是
4
∗
4
=
16
4*4=16
4∗4=16。来计算答案，这样只需要两步。这个方法的时间复杂度比上面算法的时间复杂度小，而且是因为拆开成两个部分，因此新的算法复杂度是
l
o
g
(
x
)
log(x)
log(x)级别的。而最先的那个笨方法是
x
x
x级别的。
那么我们怎么做到那样的巧妙的方法去计算快速幂呢？
请看下面的内容。
快速幂的设计思想：
例如上面的例子
2
∗
2
∗
2
∗
2
2*2*2*2
2∗2∗2∗2。我们可以设计一个递归函数。来不停的拆分上面的算式。
设函数
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
x
,
n
)
QuickPow(x,n)
QuickPow(x,n)表示
x
n
x^n
xn的结果。下一个状态是
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
x
∗
x
,
n
/
2
)
QuickPow(x*x,n/2)
QuickPow(x∗x,n/2)。
那么
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
2
,
4
)
QuickPow(2,4)
QuickPow(2,4)意思就是上面的
2
∗
2
∗
2
∗
2
2*2*2*2
2∗2∗2∗2。
然后
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
4
,
2
)
QuickPow(4,2)
QuickPow(4,2)意思是
4
∗
4
4*4
4∗4。
最后
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
16
,
1
)
QuickPow(16,1)
QuickPow(16,1)的意思是到此为止。因为第二个参数是1。
看到这里也许你可能还是一头雾水，下面请看这种说法：
例如：
3
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
3*3*3*3*3*3*3*3
3∗3∗3∗3∗3∗3∗3∗3。（总共8个3）
我们这样计算
（
3
∗
3
∗
3
∗
3
）
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
（3*3*3*3）*3*3*3*3
（3∗3∗3∗3）∗3∗3∗3∗3先进行一个
3
∗
3
3*3
3∗3的运算。所以我们可以说上面的这个方程实际等价于
（
9
∗
9
）
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
（9*9）*3*3*3*3
（9∗9）∗3∗3∗3∗3。
最后通过递归到
(
81
)
∗
3
∗
3
∗
3
∗
3
(81)*3*3*3*3
(81)∗3∗3∗3∗3知道81就是一个其中的一个解。然后前面是81，那么后面的
3
∗
3
∗
3
∗
3
3*3*3*3
3∗3∗3∗3也一定是81。所以最终81*81就是我们要的一个解。
再再看看下面这种说法：
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
x
,
n
)
QuickPow(x,n)
QuickPow(x,n)的
n
n
n的意思是有几个
x
x
x需要相乘。如果
n
=
1
n=1
n=1,那么就不需要继续进行相乘了。
小小的疑问：
那如果指数是奇数怎么办呢？
其实和偶数是一样的，奇书/2==偶数/2（“/”的意思是“整除”）。
我们只需要计算完结果然后像这样
x
∗
Q
u
i
c
k
P
o
w
(
x
,
n
)
x*QuickPow(x,n)
x∗QuickPow(x,n)手动的把
x
x
x多乘一份就可以了。
现在动手试一试吧，我想你一定能搞清楚递归函数是怎么样的。下面请看示例代码：
快速幂（递归）实现代码:
这里我为你准备了两个版本：
版本1：
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll res = 1;
ll QuickPow(int x, int n) {
if (n == 1) //函数的退出条件
return res *= x;
if (n % 2 == 0) { //偶数
return QuickPow(x * x, n / 2);
} else { //基数
return x * QuickPow(x * x, n / 2);
}
}
int main() {
cout << QuickPow(2, 3);
return 0;
}
版本2：
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll res = 1;
ll QuickPow(int x, int n) {
if (n == 0)
return 1;
ll res = QuickPow(x * x, n / 2);
if (n & 1)
res = res * x; //发现n是一个奇数，手动乘入x
}
int main() {
cout << QuickPow(2, 3);
return 0;
}
快速幂的设计思想2：
那么如果不用递归能不能实现快速幂呢？
答案当然是可以的。
我们设
n
=
2
k
n=2^k
n=2k，为什么底数是
2
2
2呢？这个我们做一个悬念。
那么原来的方程：
x
n
x^n
xn可以写成
(
(
x
2
)
2
)
2
.
.
.
((x^2)^2)^2...
((x2)2)2...
只要进行k次那么答案就被我们求出来了。
又因为
所以计算机是2进制的世界，我们可以很轻松的操作二进制比如>>。所以将n转为2的倍数然后进而来表示n。
例如计算：
我们做一个16次的循环，不停的乘x，然后如果遇到指数是2，4，16（也就是22的二进制中10110为1的部分），就把他们乘入res中，最后就可以得到最终答案。这个方法的只要循环16次，比22次要少了很多。
快速幂（二进制）实现代码：
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll QuickPow(int x, int n) {
ll res = 1;
while (n > 0) {
if (n & 1 == 1)
res *= x;
x *= x;
n >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
cout << QuickPow(4, 9);
return 0;
}
标签：int,16,数论,res,ll,C++,QuickPow,算法,81 来源： https://blog.csdn.net/qq_34013247/article/details/115676321