动态规划算法四：任意两点间的最短路径（floyd-Warshall）

目录

• 一、算法分析
• 二、代码实现
• 三、测试结果
• 四、leetcode

一、算法分析

1、 问题描述：
设G=<V, E>为一有向图，V={1,2,...,n},表示顶点编号；E为边的集合，图G中的每一条边(i, j)∈E，对应的距离值为w[i,j]。 顶点i，j间的距离定义为从i出发到j的最短路径长度。

目的：找出图G中每一个顶点到其他所有顶点的距离（有向图，即A到B与B到A的距离可能不一样）。

约定：若(i,j)∉E，则w[i,j]=∞；若i∈V，w[i,i]=0；

问题输入：表示待权有向图G=<V,E>的n*n矩阵W。

问题输出：对任意的i, j∈V，i到j的距离以及最短路径。

2、分析过程：
（1）设G中两个不同的顶点i，j∈V，p是从i到j其间仅经过{1,2,...,k}的最短路径。
（2）若p不经过顶点k，则p也是从i到j其间敬经过{1,2,...,k-1}的最短路径。
（3）若p经过顶点k，即p-->k-->j。将这两段分别记为p1，p2，则p1是从i到k其间仅经过{1,2,...,k-1}的最短路径，p2是k到j其间仅经过{1,2,...,k-1}的最短路径。（可由反证法证明）

个人理解：k为i到j的最短路径上的一个顶点，则i到k的最短路径+k到j的最短路径，与i到j的最短路径相同，其顶点必定相同。 判断顶点k是否需要加入最短路径，比较（2）与（3）的结果即可，若（2）<（3），则k点不加入最短路径。自底向上，逐个判断即可。

定义d_i,j^k为i到j其间仅经过{1,2,...,k}的最短路径长度。递归表达式如下：

\[d_{i,j}^{k}= \begin{cases} w[i,j]& \text{k=0}\\ min\lbrace d_{i,j}^{k-1},d_{i,k}^{k-1} + d_{k,j}^{k-1}\rbrace & \text{1≤k≤n}\\ \end{cases} \]

顶点对的距离矩阵：

\[D_k={d_{i,j}^k}_{(n,n)} \]

二、代码实现

最短路径：

pair floydWarshall(double *w, int n)
{
    // 使用一维数组存储图的矩阵（邻接矩阵）
    double *d = (double*)malloc(n * n * sizeof(double));
    int i, j, k;
    // 存储最短路径的节点
    int *pi = (int*)malloc(n * n * sizeof(int));

    // 最短路径节点初始化
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            // 顶点到自身的路径，顶点到某个无法直接到达的顶点之间路径，初始化为-1
            if (j == i || w[i * n + j] >= DBL_MAX) {
                pi[i * n + j] = -1;
            } else {
                pi[i * n + j] = i;
            }
        }
    }

    // 内存复制，数组的拷贝(动态申请内存的数组)，更简洁
    memcpy(d, w, n * n * sizeof(double));
    //计算最短路径，并保存顶点数据
    for (k = 1; k <= n; k++) {    // 以下计算，顶点k，对应于其他顶点的最短路径
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 0; j < n; j++) {
                // 若D[i,j]>D[i,k]+D[k,j],即经过顶点K后，路径变短，则将顶点K加入到[i,j]的路径中
                if (d[i * n + j] > d[i * n + k - 1] + d[(k - 1) * n + j]) {
                    // 更新巨鹿数据D[i,j]
                    d[i * n + j] = d[i * n + k - 1] + d[(k - 1) * n + j];
                    // 更新顶点数据：顶点k对应的前驱节点，即当前顶点对应的一个奠定
                    pi[i * n + j] = pi[(k - 1) * n + j];
                }
            }
        }
    }

    // 需要返回两个数组，可以使用结构体
    return make_pair(d, pi);

}

路径打印：

void printAllPairsShortestPath(int *pi, int n, int i, int j)
{
    // 顶点到自身的距离为0，由于初始化时将距离矩阵的对角线初始化为-1，此时将i+1即可
    if (i == j) {
        printf("%d ", i + 1);
        return ;
    }
    // 若距离矩阵中的顶点不存在时，其路径也不存在
    if (pi[i * n + j] == -1) {
        printf("no path from %d to %d exists.\n", i + 1, j + 1);
    } else {
        // 递归打印前驱节点
        printAllPairsShortestPath(pi, n, i, pi[i * n + j]);
        printf("%d ", j + 1);

    }

}

三、测试结果

测试代码：

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

typedef struct {
    void *first;
    void *second;
} pair; 

pair make_pair(void *f, void *d) {
    pair p = {f, d};
    return p;
}

pair floydWarshall(double *w, int n)
{
    // 具体实现参考上一小节
}

void printAllPairsShortestPath(int *pi, int n, int i, int j)
{
    // 具体实现参考上一小节
}

int main(void)
{
    // 初始化
    double w[] = {0, 3, 8, DBL_MAX, -4,
                  DBL_MAX, 0, DBL_MAX, 1, 7,
                  DBL_MAX, 4, 0, DBL_MAX, DBL_MAX,
                  2, DBL_MAX, -5, 0, DBL_MAX,
                  DBL_MAX, DBL_MAX, DBL_MAX, 6, 0};
    double *d;
    int i, j, k, *pi;
    int n = 5;
    pair r;

    // 计算最短路径
    r = floydWarshall(w, n);
    // 各顶点间的最短距离
    d = (double *)r.first;
    // 各顶点对应的前驱节点
    pi = (int * )r.second;
    printf("\n---Shortest distance---\n");
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j =0; j < n; j++) {
            printf("%1.1f  ", d[i * n + j]);        }
        printf("\n\n");
    }

    printf("\n---Precursor node---\n");
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j =0; j < n; j++) {
            printf("%2d ", pi[i * n + j]);
        }
        printf("\n\n");
    }

    for (i = 0; i < n; i++) {
        printf("\n---Shortest path:[%d,x]:---\n", i + 1);
        for (j =0; j < n; j++) {
            printAllPairsShortestPath(pi, n, i, j);
            printf(":%2.1f\n", d[i * n + j]);
        }
    }

    free(d);
    free(pi);

    while (1);
    return 0;
}

测试数据：

测试结果：

四、leetcode

待补充

标签：DBL,Warshall,MAX,路径,int,算法,floyd,顶点,pi
来源： https://www.cnblogs.com/HZL2017/p/14625398.html