Dijkstra算法

时间复杂度O(N²)。

单源最短路径算法,边权非负，基于贪心思想。

算法描述：

设起点为s,dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。

（a）初始化：dis[v]=0x7fffffff;dis[v]=0;pre[s]=0;

（b）for(int i=1;i<=n;i++)

   1.在未被访问过的点中找一个点u使得dis[u]是最小的。

   2.u标记为已确定最短路径。

   3.for与u相连的每个未确定最短路径的点v

      if(dis[u]+w[u][v]<dis[v]){

        dis[v]=dis[u]+w[u][v];//松弛

        pre[v]=u;//记录这条路径

      }

 

模板题：最小花费

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define maxn 2010
using namespace std;

int n,m,x,y,a,b,peo;//n m位总人数和可转账人对数，x y z a b见题目，peo指现在的这个人
double minn;
double dis[maxn],z[maxn][maxn];
bool f[maxn];

void dijkstra(int d){
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=z[d][i];
    dis[d]=1;//********
    f[d]=true;//********
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        minn=0.0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if((!f[j])&&dis[j]>minn){
                peo=j;
                minn=dis[j];
            }
        f[peo]=true;
        if(peo==b) break;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if((!f[j])&&dis[peo]*z[peo][j]>dis[j])
                dis[j]=dis[peo]*z[peo][j];
    }
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>x>>y;
        cin>>z[x][y];
        z[x][y]=(100-z[x][y])/100;//z[x][y]表示x和y转账扣完手续费后能留下的钱
        z[y][x]=z[x][y];
    }
    cin>>a>>b;
    dijkstra(a);
    printf("%.8lf\n",100.0/dis[b]);
    return 0;
}

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Bellman—Ford算法

时间复杂度O(NE),其中N是顶点数，E是边数。

单源最短路径算法，能处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况，基于迭代思想。

算法描述：

设s为起点，dis[v]为s到v的最短距离，pre[v]为v的前驱，w[j]为边j的长度，且j连接u和v。

（a）初始化：dis[v]=0x7fffffff;dis[s]=0;pre[s]=0;

（b）for(int i=1;i<=n-1;i++)

     for(int j=1;j<=E;j++)

       if(dis[u]+w[j]<dis[v]){

         dis[v]=dis[u]+w[j];

         pre[v]=u;

       }

SPFA算法

时间复杂度O(kE),其中k是一个较小的常数（所有顶点进队的频率次数），E为边数。注意，在特殊构造的图上，该算法很可能退化为O(nm)。

单源最短路径算法，能处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况，是队列优化的Bellman—Ford。

算法描述：

 

 1 void spfa(){
 2     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
 3     memset(vis,0,sizeof(vis));
 4     dis[1]=0;
 5     vis[1]=true;
 6     q.push(1);
 7     while(q.size()){
 8         int x=q.front();
 9         q.pop();
10         vis[x]=false;//取出队头
11         for(int i=head[x];i;i=Next[i]){//扫描所有出边 
12             int y=ver[i],z=edge[i];
13             if(dis[y]>dis[x]+z){
14                 d[y]=d[x]+z;
15                 if(!vis[y]) q.push(y),vis[y]=true;
16             }
17         } 
18     }
19 }

 

判断有无负环：

方法一：判断点的入队次数，若某点入队次数超过N次则存在负环。

方法二：从起点到该点的最短路中的点数大于N。

Floyed—Warshall算法

时间复杂度O（N³）。

多源最短路径算法，能处理存在负边权的情况，基于DP思想。

算法描述：

（a）初始化：点u和v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。

（b）for(int k=1;k<=n;k++)

     for(int i=1;i<=n;i++)

       for(int j=1;j<=n;j++)

         if((i!=j)&&(k!=j)&&(i!=k)&&(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j]))

           dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];

注意：k一定要放在最外层循环！！！很重要！！！

原理：k一次性更新了所有的点对，更新i和j时保证了i-k的距离已经被更新过了，所以f[k][i][j]表示i和j之间可通过前k个节点的最短路径。

精髓：依次扫描每一点(k),并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离。

两种可能:1.经过第k个点不能找到最短路径，f[k][i][j]=f[k-1][i][j]

      2.经过第k个点更找到更短的路径，f[k][i][j]=f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]

      因为f[k]只与f[k-1]有关,所以f最外层一维空间可以省略。

Floyed找最小环：

 

1 for(int k=1;k<=n;k++){
2     for(int i=1;i<=k-1;i++)
3         for(int j=i+1;j<=k-1;j++)
4             answer=min(answer,dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);//找最小环 
5     for(int i=1;i<=n;i++)
6         for(int j=1;j<=n;j++)
7             dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);//找最短路径 
8 }

 

*部分内容参考《信息学奥赛一本通》《算法竞赛进阶指南》，侵删致歉。

 

标签：int,路径,最短,vis,算法,peo,dis
来源： https://www.cnblogs.com/DReamLion/p/14351055.html