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最短路径之狄克斯特拉(Dijkstra)算法

作者:互联网

相比较贝尔曼-福特算法需要每次对所有边进行松弛操作,时间复杂度为O(顶点数*边数),并且可以处理负权边,但是我们在实际生活中,计算路径的时候,极少遇到负权边的情况,所以只考虑正权边的情况下,可以采用更优化的Dijkstra算法。

Dijkstra算法设置了两个集合,设所有顶点集合为V,则:

S=所有与起点s已经确定最短路径、最低权重值的顶点。

W=V-S。

算法每次都将W中权重值最小的顶点u移入S中,并对u的所有边进行松弛操作。

看图说话:

最短路径之狄克斯特拉(Dijkstra)算法

初始化:


S=A0
W=B∞,C∞,D∞,E∞,F∞,G∞

1、需要对A的所有边进行松弛操作,结果


S=A0
W=B6,C4,D∞,E∞,F∞,G∞

2、取出W中最小的顶点C放入S,并对C所有边进行松弛操作,结果

S=A0,C4
W=B6,D9,E∞,F11,G∞

3、取出W中最小顶点B放入S,并对B所有边进行松弛操作,结果

S=A0,B6,C4
W=D9,E11,F11,G∞

4、取出W中最小的顶点D放入S,并对D所有边进行松弛操作,结果


S=A0,B6,C4,D9
W=E11,F10,G∞

5、取出W中最小的顶点F放入S,并对F所有边进行松弛操作,结果

S=A0,B6,C4,D9,F10
W=E11,G∞

6、取出W中最小的顶点E放入S,并对E所有边进行松弛操作,结果

S=A0,B6,C4,D9,E11,F10
W=G∞

7、取出W中最小的顶点G放入S,并对G所有边进行松弛操作,结果

S=A0,B6,C4,D9,E11,F10,G∞

至此,我们可以得出一个最短路径树:


A——B=6
A——C=4
A——C——D=9
A——B——E=11
A——C——D——F=10
A无法到达G

在这里有两个地方可以优化:

1、因为要取出权重最小的顶点,所以每次都要对W进行排序,采用遍历数组进行比较的算法,不如采用优先队列(PriorityQueue),因为优先队列采用了堆结构,排序时间复杂度是O (nlgn)。

2、如果我们只是想计算起点到某点的最短距离,那么在遍历的时候,检查一下取出的最小顶点是否是终点,如果是,跳出循环即可。

标签:松弛,之狄克,B6,A0,Dijkstra,斯特拉,D9,顶点,C4
来源: https://blog.51cto.com/15067227/2603617