递归之八皇后问题（回溯算法）

一、问题描述

八皇后问题， 是一个古老而著名的问题， 是回溯算法的典型案例。 该问题是国际西洋棋棋手马克斯· 贝瑟尔于 1848 年提出，问题的具体描述为：在 8×8 格的国际象棋的棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击（即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上），问共有多少种摆法 ？

八皇后问题的答案是 92 种解法，那么这 92 种解法是怎么得来的呢？

二、解决思路

这个问题的解决思路可以分为以下几个步骤：

1. 第一个皇后先放第一行第一列；
2. 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK，如果不 OK，则尝试放在第二列、第三列…，直到找到一个合适的位置；
3. 继续放置第三个皇后，还是第一列、第二列…，直到找到一个合适的位置；
4. 依次循环下去，直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，就算是找到了一个正确解；
5. 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯。本次回溯之后，会即将第一个皇后放到第一列前提下的所有正确解全部得到；
6. 然后回头从 1 开始，第一个皇后放到第一行第二列，后面继续循环执行 2、3、4 的步骤，直至第一个皇后将第一行的所有列都放置过。至此，便得到了八皇后问题的所有放置解法。

上面的思路其实是有个回溯的思想在里面的，这个回溯的思想体现在第 5 步。即当第 8 个皇后正确放置之后便开始回溯，回溯的步骤是：首先把第 8 个皇后消去，第 7 个皇后更改自己当前所在位置，重新找到一个合适的位置，由此第 8 个皇后便可以找到一个新的位置，这便诞生出了一种新的解法；接着把第 8 个和第 7 个皇后消去，第 6 个皇后改变到一个合适的位置，再重新摆放第 7 个皇后和第 8 个皇后的位置，由此又可以诞生几种新的解法。如此循环下去，直到第 2 个皇后遍历完所有的合适的位置，这样求得的结果就是第 1 个皇后在第一行第一列情况下的所有解法。这个过程就是一个回溯过程。

上面的回溯思想可以求得第 1 个皇后在 第一行第一列情况下的所有解法。事实上，第 1 个皇后也可以摆放在第一行的任意一列，在这八列情况下的所有解法的累计，就是八皇后问题最终的解。

三、代码实现

理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法， 用一个一维数组即可表示棋盘。如：

int[8] arr[] = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} 

对于这个一维数组 arr，它的下标表示第几行，也就相当于第几个皇后；下标对应的值则代表这个皇后所在的列。如 a[1] = 4，代表第 2 个皇后在第二行第五列。

八皇后问题完整的代码实现如下：

public class No3_Recursion_EightQueens {

    private static int max = 8;             // 总共 8 个皇后
    private static int[] arr = new int[8];  // 这个一维数组用于存放8个皇后在棋盘的摆放位置，索引代表行，值代表列
    private static int num = 0;				// 计数器，用于记录有多少种解法

    public static void main(String[] args) {
        // 从第 0 行，开始摆放
        check(0);
        System.out.printf("最终解法有：%d 种", num);
    }

    /**
     * @Description 开始摆放皇后
     * @Param [n] 当前准备摆放的皇后的索引值（也就是所在行数）
     * @return void
     */
    public static void check(int n){
        // 递归首先是退出条件，也就是第 8 个皇后摆放完毕，即开始摆放第 9 个皇后了，就说明成功了
        if (n == max){
            num++;      // 成功的次数 +1
            showArr();	// 摆放完毕，就打印一下吧
            return;
        }
        // 如果不符合退出条件
        // 因为每一个皇后在每一行的摆放位置都有 8 个可能，所以需要遍历 8 次
        for (int i=0; i<max; i++){
            arr[n] = i;     // 摆放
            // 判断摆放是否合理
            if (isReasonable(n)){
                // 摆放合理的话，就开始摆放下一个
                check(n+1);
            }
        }
    }

    /**
     * @Description 判断当前摆放的皇后是否和之前摆放的皇后有冲突
     * @Param [n] 当前正在摆放的皇后的索引值
     */
    public static boolean isReasonable(int n){
        // 需要遍历，也就是和前面的每一个皇后进行比对当前摆放位置是否合理
        for (int i=0; i<n; i++){
            // arr[i] == arr[n] 代表的是摆放在同一列
            // Math.abs(n -i) == Math.abs(arr[n] - arr[i]) 代表的是摆放在对角线上
            if (arr[i] == arr[n] || Math.abs(n -i) == Math.abs(arr[n] - arr[i])){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    /**
     * @Description 打印数组
     */
    public static void showArr(){
        for (int i=0; i<max; i++){
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

运行结果如下：

以最后一个解为例，即 arr = {7, 3, 0, 2, 5, 1, 6, 4}，代表着第 1 个皇后在第一行的第八列、第 2 个皇后在第二行的第四列、第3 个皇后在第三行的第一列…，以此类推。

标签：arr,递归,之八,摆放,int,回溯,皇后,解法
来源： https://blog.csdn.net/zhuxian1277/article/details/112251419