树、二叉树、查找算法
作者：互联网
一、思维导图
二、概念笔记
1）
结点的度：结点拥有的子树数。
树的度：树中所有结点的度的最大值。
2）
二叉树的五种基本形态：空树、只有根结点、右子树为空树、左子树为空树、左右子树均不为空树
3）
二叉树的性质
性质1：在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)。
归纳法证明：
归纳基：i = 1 层时，只有一个根结点： 2i-1 = 20 = 1，命题成立。
归纳假设：假设对所有的 j，1≤ j < i，命题成立。即第j层上至多有2j-1个结点。
归纳证明：j=i时，命题成立。
∵二叉树上每个结点至多有两棵子树，且由归纳
假设有：第i-1层上至多有2i-2个结点
∴第 i=j 层的结点数至多 = 2i-2 2 = 2i-1 。
命题成立(证毕）
性质2：深度为 k 的二叉树上至多含 2^(k)-1个结点(k≥1)。
性质3：对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为2的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
证明：
设二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2，
∵二叉树上分支总数 b = n1+2n2，①
而b = n-1 = n0 + n1 + n2 – 1 ②
由①②， n0 = n2 + 1
除根结点外，其余结点都有一个分 支进入，设b为分支总数，则n=b+1。
3）⭐重要概念辨析：特殊的二叉树：
满二叉树：指的是深度为k且含有2^(k)-1个结点的二 叉树。
特点：是每一层上的结点数都是最大结点数。（结点全满）
完全二叉树：树中所含的 n 个结点和满二叉树中 编号为 1 至 n 的结点一一对应。
特点：⑴叶子结点只可能在层次最大 的两层出现；⑵对任一结点，若其右 分支下的子孙的最大层次为l，则其左 分支下的子孙的最大层次为l或l+1。（最后一层可不满的满二叉树）
完全二叉树的性质：
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为 log(2)n +1（向下取整）
性质5：若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且 从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中 任意一个编号为 i 的结点： (1)若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否 则，编号为i/2（向下）的结点为其双亲结点；
(2)若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3)若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编 号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
4）二叉树的存储结构：
顺序：特点
◼ 一组地址连续的存储单元存储各结点(如一维数组)
◼ 自根而下、自左而右存储结点；
◼ 按完全二叉树上的结点位置进行编号和存储
※在最坏的情况下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的单支树(树中不存在度为2的 结点)却需要2 k -1的一维数组。
缺点：空间利用率太低
链式：
二叉链表的结点结构：（lchild|data|rchild) 题型：空指针数的计算
三叉链表的结点结构：（parent|lchild|data|rchild）
5）遍历二叉树
递归：
void Inorder (BiTree T)
{ // 中序遍历二叉树
if (T) {
Inorder(T->lchild); // 遍历左子树
cout<<T->data; // 访问结点
Inorder(T->rchild); // 遍历右子树
}
}
非递归：（使用栈）
void InOrderTraverse(BiTree T){
InitStack(S); p = T;
声明q;//存放栈顶弹出元素
while (p || !StackEmpty(S)){
if (p){
Push(S, p);
p = p->lchild;
}else{
Pop(S, q);
cout << q->data;
p = q->rchild;
}
}
}
6）使用字符串建立二叉树的存储结构：
void CreateBiTree(BiTree &T){ //先序次序输入结点 cin>>ch;
if (ch==‘#’) T = NULL;
else {
T = new BiTNode;
T->data = ch; // 生成根结点 CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树 CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树
}
} // CreateBiTree
7）线索二叉树：遍历二叉树的结果是：求得结点的一个线性序列。指向该线性序列中的“前驱”和 “后继” 的指针， 称作“线索”。
包含“线索”的存储结构， 称作“线索链表”。 与其相应的二叉树，称作 “线索二叉树”。
作用：线索二叉树能简化找到下一个节点的这个过程
8）森林和二叉树的转换
由森林转换成二叉树的转换规则为：
若 F = Φ，则 B = Φ；否则，
由 ROOT( T1 ) 对应得到 Node(root)；
由 (t11, t12, …, t1m ) 对应得到 LBT；
由 (T2, T3,…, Tn ) 对应得到 RBT。
由二叉树转换为森林的转换规则：
若 B = Φ， 则 F = Φ；否则，
由 Node(root) 对应得到 ROOT( T1 )；
由LBT 对应得到 ( t11, t12, …，t1m)；
由RBT 对应得到 (T2, T3, …, Tn)。
9）对树的访问没有中根遍历
10）如图
11）哈夫曼树：n在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的 m 叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“最优树”。
12）哈夫曼编码：编码目标：总编码长度最短！（出现频率越大的字符，其Huffman编码越短。）
让待传字符串中出现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符串便可以减少。
关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。
符合这种编码要求的编码方式称为前缀编码。
*左分支用"0"表示，右分支用"1"表示。
13）二叉排序树
特性：
¨若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
¨若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
¨它的左、右子树也都分别是二叉排序树。
14）二叉排序树的查找（递归）
BSTree SearchBST(BSTree T,KeyType key) {
if((!T) || key==T->data.key) return T; else if (key<T->data.key) //在左子树中继续查找 return SearchBST(T->lchild,key);
else //在右子树中继续查找
return SearchBST(T->rchild,key);
} // SearchBST
15）二叉排序树的删除：
◼被删除的结点是叶子
◼被删除的结点只有左子树或只有右子树
◼被删除的结点既有左子树又有右子树
16）二叉排序树的查找性能：
平均查找长度和二叉树的形态有关，即，
最好：log2n（形态匀称，与二分查找的判定树相似）
最坏: （n+1)/2（单支树）
17）平衡二叉树(又称AVL树)： 是二叉排序树的另一种形式，其特点为： 树中每个结点左、右子树深度之差(称为平衡因子BF) 的绝对值不大于1。
AVL树的平均查找长度和logn是同数量级的
17)B-树（又称多路平衡查找树）】
定义：一棵m阶B-树或者是一棵空树，或者是满足 下列要求的m叉树：
• 每个节点至多m个孩子节点（至多有m-1个关键字）
• 除根节点外，其他节点至少有m/2个孩子节点（即 至少有m/2-1个关键字）；（向上取整）
• 若根节点不是叶子节点，根节点至少两个孩子节点
18）B+树：
一棵m阶B+树满足下列条件：
每个分支节点至多有m棵子树。 根节点或者没有子树，或者至少有两棵子树
除根节点，其他每个分支节点至少有m/2棵子树 （向上取整）
有n棵子树的节点有n个关键字。
叶子节点包含全部关键字及指向相应记录的指针
⚫ 叶子节点按关键字大小顺序链接
⚫ 叶子节点直接指向数据文件中的记录。
所有分支节点（可看成是分块索引的索引表）
⚫ 包含它的各个子节点（即下级索引的索引块） 中最大关键字及指向子节点的指针。
三、疑难杂症：
①表达式二叉树
先缀表达式获取二叉树
分析：
从左往右遍历先缀表达式，发现操作符就将其入栈，发现操作符的第二个操作数之后，将它们组织成最小的子树，然后操作符出栈，继续遍历下一个字符。在这个过程中，操作数是不入栈的，栈里只有操作符，当操作符组织成最小计算单元之后就将其出栈。当栈空的时候，说明先缀表达式遍历完毕。
代码：
void ExpressionBinaryTree::buildBTreeByPreffixE()
{
root = new BinaryTreeNode();
char c;
cout << "->请输入前缀表达式,以=结尾." << endl;
cout << "->:";
cin >> c;
stack *> parentStack;//用于保存存放父结点
BinaryTreeNode *pointer = root;//用于指向下一个保存数据的结点
string blankStr = "";
double tempDouble = 0;
string tempStr;//用于输入流，将浮点数转换成字符串
while (c != '='``)
{
switch (c)
{
case '+':
case '-':
case '*':
case '/':
pointer->setValue(c + blankStr);//设置当前结点的值
pointer->setLeftChild(new BinaryTreeNode());//生成左结点
parentStack.push(pointer);
pointer = pointer->getLeftChild();
break;
}
if (isdigit(c))
{
std::cin.putback(c);
std::cin >> tempDouble;
stringstream sss;
sss << tempDouble;
sss >> tempStr;
pointer->setValue(tempStr);
pointer = parentStack.top();
while` `(pointer->getRightChild() != NULL)
{
parentStack.pop();//找到按前序遍历的下一个结点
if (parentStack.empty())
return;
pointer = parentStack.top();
}
pointer->setRightChild(new BinaryTreeNode());//找到了按前序遍历的下一个结点位置并生成结点
pointer = pointer->getRightChild();
}
std::cin >> c;
}
}
⭐中缀表达式获取二叉树（括号以及优先级的处理）
如果从右开始计算，每次计算结果都是下一个操作符的第二个操作数，那么遍历结束之后，结果就出来了。用代码实现可以用两个栈，一个栈保存从左到右的操作符，另一个栈保存从左到右的操作数
其实括号也是优先级的问题。处理括号时按照处理优先级问题的逻辑，即右括号的优先级是最高的。在压入右括号的时候不用看后面的操作符了，右括号就是最高的，应该直接将从左括号到右括号中的表达式组成子树，然后压入到操作数栈中。
代码如下：
//比较优先级
bool ExpressionBinaryTree::aIsGreaterOrEqualThanB(char a, char b)
{
switch (a)
{
case '*':
case '/':
return true;
case '+':
case '-':
if (b == '*' || b == '/')
return false;
return true;
case '(':
return false;
}
return false;
}
//中缀表达式转换成二叉树
void ExpressionBinaryTree::buildBTreeByInfixE()//构造中缀表达式二叉树
{
root = new BinaryTreeNode<string>();
char c;
cout << "->请输入中缀表达式,以=结尾." << endl;
cout << "->:";
cin >> c;
stack<BinaryTreeNode<string> *> opd;//操作数栈 //为了方便统一管理，操作数和操作符全部定义为string类型
stack<string> opt;//操作符栈
double tempDouble = 0;
string tempStr;//用于输入流，将浮点数转换成字符串
string blankStr = "";
while (c != '=')
{
switch (c)
{
case '+':
case '-':
case '*':
case '/':
while (!opt.empty() && aIsGreaterOrEqualThanB(opt.top().c_str()[0], c))//如果栈顶操作符优先级高于读入操作符优先级，则表名应该先计算栈顶操作符
{
BinaryTreeNode<string> *secondOpd = opd.top();
opd.pop();
BinaryTreeNode<string> *firstOpd = opd.top();
opd.pop();//从操作数栈取出两个操作数
opd.push(new BinaryTreeNode<string>(opt.top(), firstOpd, secondOpd));//将操作数和操作符组成一个新结点存入栈中
opt.pop();
}
opt.push(c + blankStr);//将读入操作符入栈
break;
case '(':
opt.push(c + blankStr);//遇到左括号直接入栈
break;
case ')':
while (!opd.empty() && opt.top().c_str()[0] != '(')//为了防止冗赘括号，但未检测括号不匹配
{
BinaryTreeNode<string> *secondOpd = opd.top();
opd.pop();
BinaryTreeNode<string> *firstOpd = opd.top();
opd.pop();//从操作数栈取出两个操作数
opd.push(new BinaryTreeNode<string>(opt.top(), firstOpd, secondOpd));//将操作数和操作符组成一个新结点存入栈中
opt.pop();
}
opt.pop();//将左括号出栈
break;
}
if (isdigit(c))
{
std::cin.putback(c);
std::cin >> tempDouble;
stringstream sss;
sss << tempDouble;
sss >> tempStr;
opd.push(new BinaryTreeNode<string>(tempStr));
}
std::cin >> c;
}
while (!opt.empty())
{
BinaryTreeNode<string> *secondOpd = opd.top();
opd.pop();
BinaryTreeNode<string> *firstOpd = opd.top();
opd.pop();//从操作数栈取出两个操作数
opd.push(new BinaryTreeNode<string>(opt.top(), firstOpd, secondOpd));//将操作数和操作符组成一个新结点存入栈中
opt.pop();
}
root = opd.top();//此时操作数栈中唯一元素即为根元素
opd.pop();
}
作者：vBackSlash
链接：http://www.imooc.com/article/273872?block_id=tuijian_wz
来源：慕课网
②一组需要检索的数据（里面可能有多个属性，比如书本 记录，里面可能有ISBN号、书名、作者、出版社等），其 本身没有排序。如何对该组数据进行处理提高查找的效率？ 算法的时间复杂度由谁来决定？（未解决）
标签：结点,操作数,opd,BinaryTreeNode,算法,查找,二叉树,节点 来源： https://www.cnblogs.com/dcftx/p/12780777.html