最大权完美匹配：KM算法的优化
作者：互联网
我们知道最大权完美匹配的KM算法。简述其流程如下：
- 设二分图的两部分点集分别为 $X=\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$ 和 $Y=\{Y_1, Y_2, \ldots, Y_m\}$, $X_iY_j$ 间边权为 $w_{ij}$.
- 给两部点集分别赋点权 $\{A_i\}, \{B_i\}$, 使得 $A_i+B_j \ge w_{ij}$. 取等的边的生成子图叫做相等子图。那么相等子图的完美匹配就是最大权匹配。
- 我们需要适当选取权值，使相等子图有完美匹配。一开始令 $X=\emptyset$, $B_i=0$, 并逐个加入 $X_1, X_2, \ldots, X_n$.
- 假设目前需要加入 $X_i$, 由定义可取 $A_i=\max\{w_{ij}\}$. 为了在相等子图上找到完美匹配，需要找到一条从 $X$ 到 $Y$ 的交错路。如果交错路存在，算法结束。
- 如果交错路不存在，取出在搜索过程中访问的所有点，它们构成交错树，记其顶点集与 $X$ 的交为 $X'$, 与 $Y$ 的交为 $Y'$. 对于所有和 $X'$ 中的点相邻的非匹配边 $\left<X_i, Y_j\right>$，设 $A_i+B_j-w_{ij}$ 的最小值为 $d$. 将 $X'$ 中的所有点权减小 $d$, $Y'$ 中的所有点权增大 $d$, 由此可知 $A_i+B_j \ge w_{ij}$ 仍然满足。交错树上的边仍然属于相等子图，且至少有一条与交错树相邻的相等边，所以可在此基础上继续找交错路。
KM算法需要对每回修改后的子图重新搜索交错路，时间复杂度可达 $O(n^4)$.
由于原交错树仍然是可用的，我们考虑不重新搜索交错路，而是在原交错树上直接扩展新边。
具体地，我们维护交错树，对于每个 $Y'$ 中的点，记录它的父结点。对于 $Y_j \in Y \setminus Y'$, 我们维护 $slack_j=\min\{A_i+B_j-w_{ij}\ \mid X_i \in X'\}$, 取得最小值的 $X_i$ 是它的准父结点（有多个任取一个）。
那么，由交错树仅单点 $X_k$ 开始，取出 $d=\min\{slack_j \mid Y_j \in Y \setminus Y'\}$, 作上述第五步的更新，然后就可以将取得最小值的 $j$（有多个任取一个）加入交错树，$Y_j$ 的父结点就是原准父结点。特别地，当 $d=0$ 是就是继续沿原相等子图扩展。若所加入的 $Y_j$ 还未匹配，则说明已经找到交错路，顺着父结点构成的路径一路修改匹配即可。在实现上，我们记 $match_j$ 表示 $Y_j$ 的匹配点，$pre_j$ 表示 $Y_j$ 的父结点的匹配点，不存在记为 $0$.
代码
以下假设 $n \le 500$, 答案绝对值小于 $10^{18}$, 输入点数和边权，输出 $Y_j$ 的匹配点。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 const int N=501;
3 int n, match[N];
4 bool vis[N];
5 long long f[N][N], a[N], b[N], slack[N], pre[N];
6 template<class T1, class T2> bool cmin(T1 &a, const T2 &b)
7 {
8 return b<a?(a=b, true):false;
9 }
10 template<class T1, class T2> bool cmax(T1 &a, const T2 &b)
11 {
12 return a<b?(a=b, true):false;
13 }
14 int main()
15 {
16 scanf("%d", &n);
17 for(int i=1; i<=n; ++i) {
18 for(int j=1; j<=n; ++j)
19 scanf("%d", f[i]+j);
20 a[i]=*std::max_element(f[i]+1, f[i]+n+1);
21 }
22 for(int i=1; i<=n; ++i) {
23 int x=0, cho;
24 memset(vis+1, 0, n);
25 memset(pre+1, 0, n*sizeof(int));
26 memset(slack+1, 63, n*sizeof(long long));
27 match[0]=i;
28 do {
29 int u=match[x];
30 long long min=1e18;
31 vis[x]=true;
32 for(int v=1; v<=n; ++v) {
33 if(!vis[v]) {
34 long long t=a[u]+b[v]-f[u][v];
35 if(cmin(slack[v], t))
36 pre[v]=x;
37 if(cmin(min, slack[v]))
38 cho=v;
39 }
40 }
41 for(int j=0; j<=n; ++j) {
42 if(vis[j]) {
43 a[match[j]]-=min;
44 b[j]+=min;
45 } else
46 slack[j]-=min;
47 }
48 x=cho;
49 } while(match[x]);
50 while(x) {
51 match[x]=match[pre[x]];
52 x=pre[x];
53 }
54 }
55 for(int i=1; i<=n; ++i)
56 printf("%d%c", match[i], " \n"[i==n]);
57 return 0;
58 }
标签：结点,相等,匹配,子图,KM,算法,ij,交错 来源： https://www.cnblogs.com/nealchen/p/improved-KM.html