c – 用于计算二项式系数的递归算法的时间复杂度

我正在研究算法复杂性分析.我有不整合的问题或C(n,k).

int C(int n, int k){
   if(n==k || k==0)
     return 1;
   return C(n-1, k) + C(n-1, k-1);
}

如何确定其执行复杂度或T(n)？

解决方法:

你正在寻找的复发是

T(n,k) = T(n-1,k) + T(n-1,k-1) + O(1)       with        T(n,n) = T(n,0) = O(1)

显然,n每步减少一个.如果我们忽略(只是暂时)存在参数k,基本上每个步骤的调用次数加倍.这种情况发生了n次,直到n = 1.现在C(1,k)返回1.所以你最多调用C(n,k)2n次.所以C(n,k)在O(2n)中.

现在我们记住了k.什么是k的最坏情况？也许k = n / 2(对于偶数n).你可以看到你需要至少n / 2步,直到k达到1或n在任何递归调用中达到n / 2.所以通话次数增加了两倍至少2n / 2次.但是还有更多的电话.写下来是相当多的工作.

编辑1
让我们来看看这张照片

你开始调用C(n,n / 2)(n = 6).灰色三角形是包含在n / 2“步”中的部分,直到您首先到达角(C(n,0)或C(n,n)).但正如你所看到的,还有更多的电话.我标记了调用,递归在一个蓝色框中停止,并写了一个特殊的C(n,k)被调用,带有绿色数字.

编辑2 C(n,k)的值和返回值1的C(n,k)的调用次数是相同的,因为该函数仅返回值1(或递归调用的结果) ).
在示例中,您会看到蓝色框中写入的绿色数字的总和(即调用次数)总计为20,这也是C(6,3)的值.

编辑3由于一个C(n,k)调用中的所有操作都在O(1)(常量时间)中运行,因此我们只需要对调用进行计数以获得复杂性.注意：如果C(n,k)包含在O(n)中运行的操作,我们必须将调用次数乘以O(n)以获得复杂性.

您还会注意到与Pascal’s triangle的连接.

一个小技巧

算法C(n,k)通过加1来计算Binomial coefficient.通过使用Stirling’s approximation你可以看到,C(n,n / 2)&大约; 2n / sqrt(n)(省略了一些常量以简化).
因此算法必须添加许多1,因此它具有O(2n / sqrt(n))的复杂度.

标签：c,recursion,time-complexity,complexity-theory
来源： https://codeday.me/bug/20190725/1529596.html