Leetcode第306场周赛（附数位DP总结）
作者：互联网
1、矩阵中的局部最大值
简单题，n×n的矩阵，最后得到(n-2)×(n-2)的矩阵，做法就是枚举每个起点。
class Solution {
public:
int find_max(vector<vector<int>>& grid,int start_i,int start_j){
int num_max = 0;
for(int i=0;i<3;i++){
for(int j=0;j<3;j++){
num_max = max(num_max,grid[i+start_i][j+start_j]);
}
}
return num_max;
}
vector<vector<int>> largestLocal(vector<vector<int>>& grid) {
int n=grid.size();
vector<vector<int>> ans;
vector<int >ve;
for(int i = 0;i<n-2;i++){
for(int j = 0;j<n-2;j++){
int number = find_max(grid,i,j);
ve.push_back(number);
}
ans.push_back(ve);
ve.clear();
}
return ans;
}
};
2、边积分最高的节点
虽然是一个中档题，但是比第一题还要简单一点，爆int值得注意。
class Solution {
public:
long long edge_num[100000+7];
int edgeScore(vector<int>& edges) {
int n = edges.size();
memset(edge_num,0,sizeof(edge_num));
for(int i=0;i<n;i++){
edge_num[edges[i]]+=i;
}
int ans_num = 0;
long long ans_number = edge_num[0];
for(int i =1;i<n;i++){
if(edge_num[i]>ans_number){
ans_number = edge_num[i];
ans_num = i;
}
}
return ans_num;
}
};
3、根据模式串构造最小数字
本题是一个中档题，根据模式串构造符合条件的字典序最下的新字符串。 思路：贪心。在满足要求的前提下尽可能使用较小的数字去填充。起始数字为s=1，当遇到字符 I 时，填入s即可，然后使s+1，当前字符I之后的数字无论填什么，一定是一个比s大的数，一定可以满足I 的条件。当遇到字符 D 的时候，首先应计算字符 D 往后有多少个连续的字符 D ，假如说当一共有num个字符 D 相连，那么当前位置（首个D之前的待填充数字）所填的数字应该是 s+num ，然后依次递减填充，直到填完 num+1 个数，即填完相连字符D的后边的那个待填充数字。 值得注意的是，字符D前后的数字都会被填充了，但字符I一次只会填充1个数字，即I之前的数字，所以循环结束后，应判断模式串的最后一个字符是I还是D，如果是I的话，应该再补上一个数字。
class Solution {
public:
string smallestNumber(string pattern) {
int start = 1;
int n = pattern.size();
string ans = "";
for(int i =0;i<n;i++){
if(pattern[i]==I)
ans += (0+start);
int pos = 0;
if(pattern[i]==D){
int num = 0 ;
for(int j=i;j<n;j++){
if(pattern[j]==D){
num++;
}
else break;
}
start = start+num;
pos = start;
for(int p = num+1;p>0;p--){
ans+=(0+pos);
pos = pos-1;
}
i = i + num;
}
start++;
}
if(pattern[n-1]==I)
ans+=(0+start);
return ans;
}
};
4、统计特殊整数
数位DP模板题，首先给出数位DP的常用模板(附code 1)。
code1
int dfs(int pos,bool is_limit,bool is_num,...){
if(pos == m){
return is_num ? 1:0;
}
if (!is_limit && is_num && ..dp..) return ..dp..;
int res=0;
if(!is_num)
res = f(pos+1,false, false);
//设置上限值。
int up = is_limit? ve[pos]:9;
for(int i = is_num ? 0:1;i<=up;i++){
if(...){
res+=f(pos+1,(i==up)&&is_limit,true,...);
}
}
if (!is_limit && is_num) ..dp.. = res;
return res;
}
数位DP介绍： 数位DP其实就是在暴力枚举的基础上加了记忆化数组。其通过枚举数字每个数位上的值来枚举1~n的值。结合代码来解释一下各参数的意义，pos表示的是当前枚举到第pos位，is_limit表示的是pos之前的每个数位是否都达到了最大值，比如说n = 4567，若pos=2,第0位为4，第1位为5，那么第pos=2位的值最大不能超过6，如果第0位的值小于4或第1位的值小于5，那么第pos=2处的值最大可以取到9。is_num是用来控制前导0的，若n=4567,如果不控制前导0，33就会被表示位0033，而00可能会对结果有影响，控制前导0后，就不会出现0033这种情况。如果不加记忆化数组，那么这种方法就是一种暴力搜索。 记忆化数组为什么可行呢？这个问题通过例题来解释。
例题1、统计特殊整数（本次竞赛第4题，Leetcode 2376）
方法1 数位DP
class Solution {
public:
vector<int >ve;
int dp[10][1<<10];
// pos表示第pos位，num表示ve大小，mask表示当前填了哪些数（用二进制表示，is_limit表示pos之前的位置上的数是否都是
// 上限值，is_num表示pos位之前是否有数）
int f(int pos,int num,int mask,bool is_limit,bool is_num){
if(pos == num){
return is_num ? 1:0;
}
if (!is_limit && dp[pos][mask] >= 0) return dp[pos][mask];
int res=0;
// 第一种情况，pos位之前的全部位0，且pos位选择填0
if(!is_num)
res = f(pos+1,num,mask,false, false);
// 第二种情况，pos位之前全位0，pos位从1开始填到up（或者pos位之前不全为0，pos位从0开始填）
int up = is_limit? ve[pos]:9;
for(int i = is_num ? 0:1;i<=up;i++){
if(((mask>>i)&1)==0){
res+=f(pos+1,num,mask|(1<<i),(i==up)&&is_limit,true);
}
}
if (!is_limit) dp[pos][mask] = res;
return res;
}
int countSpecialNumbers(int n) {
int m = n;
while(m){
ve.push_back(m%10);
m = m/10;
}
memset(dp,-1,sizeof dp);
reverse(ve.begin(),ve.end());
int num = ve.size();
return f(0,num,0,true,false);
}
};
方法2 思维
class Solution {
public:
// 首先判断是几位数,然后计算出位数对应的特殊整数的数目
int sum_cal(int n){
if(n==1) return 9;
int ans=1;
int pos=9;
for(int i = 9;n>1;n--,i--){
ans*=i;
}
return ans*9;
}
// 从start开始，往后乘n-1次
int cal_(int n,int start){
int ans=1;
for(int i = start;n>0;i--,n--){
ans = ans * i;
}
return ans;
}
int countSpecialNumbers(int n) {
int m=n;
int num=0;
vector<int>ve;
while(m){
num++;
ve.push_back(m%10);
m/=10;
}
// return cal_(1,9);
// return num;
if(num==1) return n;
int ans=0;
for(int i=1;i<num;i++){
ans+=sum_cal(i);
}
// return ans;
bool mask[10];
memset(mask,0,sizeof(mask));
for(int i = num-1;i>0;i--){
if(i==num-1)
ans+=(ve[i]-1)*cal_(i,10-num+i);
else {
int cnt = 0;
for(int j=i+1;j<num;j++){
if(ve[j]<ve[i]){
cnt++;
}
}
ans+=(ve[i]-cnt)*cal_(i,10-num+i);
if (mask[ve[i]]) return ans;
}
mask[ve[i]] = 1;
}
bool judge = 0;
for(int i = 0;i<=ve[0];i++){
if(!mask[i]) ans++;
}
return ans;
}
};
例题2、数字 1 的个数（Leetcode 233）
计算小于等于n的非负整数中数字1出现的个数。 数位dp，定义dp[i][j]表示当考虑到第i位时，i之前一共有 j 个1的数字的个数。 code:
class Solution {
public:
int dp[20][20];
int dfs(int pos,string s,int mask,bool is_limit,bool is_num,int count){
if(pos==s.size()){
return count;
}
if (!is_limit && is_num && dp[pos][count]!=-1) return dp[pos][count];
int res = 0;
if(!is_num){
res = dfs(pos+1,s,mask,false,false,count);
}
int up = is_limit? s[pos]-0:9;
for(int i = is_num ? 0:1;i<=up;i++){
if(i==1)
res+=dfs(pos+1,s,mask|(1<<i),is_limit&&(i==up),true,count+1);
else res+=dfs(pos+1,s,mask|(1<<i),is_limit&&(i==up),true,count);
}
if (!is_limit && is_num) dp[pos][count] = res;
return res;
}
int countDigitOne(int n) {
string s = to_string(n);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
return dfs(0,s,0,true,false,0);
}
};
例题3、不含连续1的非负整数（Leetcode 600）
给定一个正整数 n ，返回范围在 [0, n] 都非负整数中，其二进制表示不包含 连续的 1 的个数。 数位DP，将n用二进制进行表示，二进制中数位上限最大为1。定义dp[i][j]表示为考虑到第i位时，前一位为j时的数字满足条件的数字个数。注：这里j的取值只可能是0和1。 code:
class Solution {
public:
int findIntegers(int n) {
vector<int >ve;
int tmp = n;
while(tmp){
ve.push_back(tmp%2);
tmp/=2;
}
reverse(ve.begin(),ve.end());
int m = ve.size();
int dp[m][2];
memset(dp,-1,sizeof dp);
function<int (int,int,bool)> dfs = [&](int pos,int end,bool is_limit) ->int {
if(pos==m){
return 1;
}
if(!is_limit&&dp[pos][end]!=-1) return dp[pos][end];
int res = 0;
int up = is_limit? ve[pos]:1;
for(int i = 0;i<=up;i++){
char x = 0+i;
if(end == 0){
res+=dfs(pos+1,i,is_limit&&(i==up));
}
else{
if(i==1) continue;
res+=dfs(pos+1,i,is_limit&&(i==up));
}
}
if(!is_limit) dp[pos][end] = res;
return res;
};
return dfs(0,0,true);
}
};
例题4、最大为 N 的数字组合（Leetcode 902）
数位DP模板题，定义dp[i]为考虑到第i位解的个数，按照条件，每一位选择的数应该是存在于digits中。
class Solution {
public:
int dp[10];
int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
map<string,bool>mp;
for(int i=0;i<=9;i++){
auto j = to_string(i);
mp[j]=0;
}
for(auto t:digits){
mp[t]=1;
}
auto s = to_string (n);
int m = s.length();
memset(dp,-1,sizeof dp);
function<int (int ,bool ,bool,string)> dfs = [&](int pos,bool is_limit,bool is_num,string now)-> int {
if(pos==m){
return is_num;
}
if(!is_limit&&is_num&&dp[pos]!=-1) return dp[pos];
int res = 0;
if(!is_num){
res+=dfs(pos+1,false,false,now);
}
for(int i = 0,up = is_limit? s[pos]-0:9; i<=up;i++){
auto j = to_string(i);
if(mp[j]){
res+=dfs(pos+1,is_limit&&(i==up),true,now+j);
}
}
if(!is_limit&&is_num) dp[pos] = res;
return res;
};
return dfs(0,true,false,"");
}
};
总结：数位DP题目的形式往往是求区间[L，R]中满足某个条件的数字的个数，该类题应该清楚的是dp记忆化数组的表示方法，限制条件用代码应该怎么表达，然后就可以套模板了。