二次剩余与 Cipolla 算法
作者：互联网
二次剩余
对于 \(P,n\)，若存在 \(x\)，满足：
\[x^2≡n\pmod p \]则称 \(n\) 为模 \(P\) 意义下的二次剩余。
勒让德符号
定义如下：
\[\left(\frac{n}{p}\right)= \begin{cases} 1,&n\text{ 在模 $p$ 意义下是二次剩余}\\ -1,&n\text{ 在模 $p$ 意义下是非二次剩余}\\ 0,&n\equiv0\pmod p \end{cases} \]欧拉判别准则
对于勒让德符号，有：
\[\left({n\over p}\right)\equiv n^{p-1\over 2}\pmod{p} \]证明：
若 \(n≡0\pmod p\)，显然该式子成立。
若 \(n\) 在模 \(p\) 意义下是二次剩余，即存在 \(x^2≡n\pmod p\)，那么就有 \(x^{p−1}≡1\pmod p\)，根据费马小定理显然 \(x\) 存在。
若 \(n\) 在模 \(p\) 意义下是二次非剩余，我们仍假设存在 \(x^2≡n\pmod p\)，从而有 \(x^{p−1}≡−1\pmod p\)，由费马小定理，显然 \(x\) 不存在。
标签：剩余,在模,意义,二次,pmod,算法,right,Cipolla 来源： https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16525958.html