【编译原理】DFA最小化算法

DFA的定义

DFA是Determinant Finite Automata，确定性有穷自动机这个定义有几个关键点

• 确定性，Determinant的，也就是说，对于一个串，只有一种可接受方法。(这等价于不存在符号相同的边。)

• 有限，Finite，也就是说节点数量是有限的。

数学地来说:DFA是一个五元组，包括\((S,state,\Sigma,Mov,T)\)：初始状态，状态，字符集，状态转移函数，结束状态。

对于OIer的快速入门：一个AC自动机/SAM就是一个DFA，一个\(state\)可以对应成图上的一个节点，\(\Sigma\)就是AC自动机/SAM的字符集，\(S\)就是AC自动机/SAM的开始节点，\(T\)就是接受节点，而\(Mov(A,b)=C\)就是查询\(A\)走一条字符为\(b\)的边到了哪个节点(\(C\))，如果没有这条边那么\((A,b)\)没有不在\(Mov\)函数的定义域。

最小DFA定义

可接受字符串集合相同的DFA称为等价DFA，最小DFA的定义是所有等价DFA中节点最小的，可以证明节点最小的DFA只有一种。

状态(也就是DFA的某个节点)的可区分性

两个点不可区分记为\(A\sim B\)

\(A\sim B\)，A和B不可区分当且仅当两个状态的所有出边都对应不可区分。

所有出边对应不可区分当且仅当\(\not \exists c\in \Sigma , Mov(A,c)\not \sim Mov(B,c)\)，即符号对应的出边到达的节点不可区分

倍增法求最小化DFA

初始情况，我们能确定，至少所有结束状态和其他节点(非结束状态)是不一样的。

算法的思路是不断寻找可区分的点，并且分裂，层次有点类似B算法求最小生成树。

• 初始情况：\(\prod_0 = S_1,S_2\)，\(S_1\)是所有结束状态，\(S_2\)是所有非结束状态

• 迭代方法：假设本次为第\(n\)次迭代。

  • 枚举一个\(S_k\in \prod_{n-1}\)
  • 枚举所有\(c\in \Sigma\)，得到一个集合\(Mov(S_k,c)=\{Mov(X,c):X\in S_k\}\)
    • 确认是否每个\(Mov(X,c)\)都有定义(有这条边)，都有定义则通过
    • 确认是否存在\(S_t\in \prod_{n-1}\)，\(Mov(S_k,c)\subseteq S_t\)(所有边都不可区分)，存在\(S_t\)则通过
  • 若通过以上两种检查，则\(S_k\rightarrow \prod_n\)(加入这个集合)
  • 若没有通过以上两种检查，则将\(S_k\)不相交地划分成若干个极大集合\(T_1,T_2\dots T_n\)使得\(\exist S_t\in \prod_{n-1} \textbf{ s.t. } \forall i,Mov(T_i,c)\subseteq S_t\)，这里极大集合的意思是\(\forall S_t\in \prod_{n-1}, \not \exist i\not = j \textbf{ s.t. } Mov(T_i,c)\cup Mov(T_j,c) \subseteq S_t\)(将\(S_k\)分裂成若干集合，使得集合内的点的所有出边在\(\prod_{n-1}\)中不可区分，并且希望分裂出的集合数量最小)

使用合适的数据结构可以做到\(O(m \log m)\)

代码到时候再说吧。

这个算法的发明者最终获得了图灵奖！

标签：区分,Mov,编译,集合,最小化,prod,DFA,节点
来源： https://www.cnblogs.com/winlere/p/16115073.html