程序员基本功系列5——二叉树
作者：互联网
1、二叉树基础
1.1、树的几个概念
节点的高度：节点到叶子节点的最大路径（边数）
节点的深度：根节点到这个节点所经历的边数
节点的层数：节点的深度+1
树的高度：根节点的高度
高度和深度的计数都是从0开始，来看个例子：
1.2、满二叉树和完全二叉树
（1）满二叉树
叶子节点全都在最后一层，除叶子节点外，每个节点都有左右两个节点，这种二叉树就是满二叉树。
其中2号就是满二叉树。
（2）完全二叉树
叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了叶子节点，每个节点都有左右两个节点，这种二叉树就是完全二叉树。上图中3号就是一棵完全二叉树。
再来看几个完全二叉树和非完全二叉树的例子：
和满二叉树一样，除了叶子节点其他节点都达到最大，这一点很好理解，那为什么完全二叉树的要求最后一层都靠左排列呢？
要明白这一点就要看二叉树的存储方式？主要有两种：链式存储和基于数组的顺序存储。
链式存储：这是最长用的二叉树表示方式，每个节点三个字段，一个存储数据，另外两个是指向左右节点的指针。
基于数组的顺序存储：把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。
完全二叉树叶子节点都靠左排列就是为了节省存储空间。
1.3、二叉树的遍历
经典的三种方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历。
前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身
实际上，前中后序遍历就是递归过程，我们直接看代码：
void preOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
void inOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
inOrder(root->left);
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
inOrder(root->right);
}
void postOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}
三种遍历，每个节点最多会被访问两次，与节点个数正相关，所以时间复杂度是 O(n)。
2、二叉查找树
二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也就二叉搜索树。它支持快速查找、插入和删除数据。
二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。
2.1、二叉查找树的操作
（1）二叉查找树的查找操作
先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public static class Node {
private int data;
private Node left;
private Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.left;
else if (data > p.data) p = p.right;
else return p;
}
return null;
}
}
（2）二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
public void insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
if (p.right == null) {
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
} else { // data < p.data
if (p.left == null) {
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
（3）二叉查找树的删除操作
删除操作比较复杂，因为可能涉及到重构，根据要删除节点的子节点个数不同，分三种情况考虑：
• 如果要删除的节点没有子节点，只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。
• 如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），只需要更新父节点中指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。
• 如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。
public void delete(int data) {
Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) p = p.right;
else p = p.left;
}
if (p == null) return; // 没有找到
// 要删除的节点有两个子节点
if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
Node minP = p.right;
Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
while (minP.left != null) {
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
p = minP; // 下面就变成了删除minP了
pp = minPP;
}
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
Node child; // p的子节点
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
else if (pp.left == p) pp.left = child;
else pp.right = child;
}
（4）二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
另外还有一个重要特性，二叉查找树的中序遍历可以输出有序的数据序列，时间复杂度 O(n)，非常高效。
（5）时间复杂度分析
二叉查找树的查找、插入和删除的时间复杂度跟跟树的高度成正比，所以时间复杂度就是 O(height)。在极端情况下，二叉查找树会退化成链表，时间复杂度就是 O(n)，如果二叉树是平衡二叉树（3节讲），平衡二叉树的树高接近 O(logn)，
所以对于平衡二叉树来说时间复杂度就是 O(logn)。
2.2、支持重复数据的二叉查找树
很多时候，在实际的开发中，在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。把对象中的其他字段叫作卫星数据。
上面小节中所提到的操作都是针对不存在重复键值的情况，那如果存在重复键值怎么解决呢？几种思路：
（1）二叉树的每个节点不仅存储一个数据，可以通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把相同键值的数据存储在一个节点上。
（2）每个节点还是只存储一个数据，如果遇到相同的键值，将要插入的数据放到右子树，也就是把相同的键值按大于这个节点的值来处理。
当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
（3）对于要删除的数据，并不真正删除，只是将节点标记为删除状态，这样就避免删除带来的复杂性，但是比较浪费存储空间，并且当数据量越大，性能会越低。
标签：Node,程序员,查找,二叉树,基本功,null,data,节点 来源： https://www.cnblogs.com/jing-yi/p/15887231.html