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动态规划

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有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 X+Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(1) = 1;

F(2) = 2; 

F(n) = F(n-1)+F(n-2)（n>=3）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

递归求解 

 

 

时间复杂度 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

备忘录算法

 

在以上代码中，集合map是一个备忘录。当每次需要计算F(N)的时候，会首先从map中寻找匹配元素。如果map中存在，就直接返回结果，如果map中不存在，就计算出结果，存入备忘录中。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 动态规划求解

 

 

 程序从 i=3 开始迭代，一直到 i=n 结束。每一次迭代，都会计算出多一级台阶的走法数量。迭代过程中只需保留两个临时变量a和b，分别代表了上一次和上上次迭代的结果。 为了便于理解，我引入了temp变量。temp代表了当前迭代的结果值。

 

 

 

例子2

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

 

 

 

 

 

方法一：排列组合

 

每一座金矿都有挖与不挖两种选择，如果有N座金矿，排列组合起来就有2^N种选择。对所有可能性做遍历，排除那些使用工人数超过10的选择，在剩下的选择里找出获得金币数最多的选择。

代码比较简单就不展示了，时间复杂度也很明显，就是O(2^N)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(n,w) = 0    (n<=1, w<p[0]);

 

F(n,w) = g[0]     (n==1, w>=p[0]);

 

F(n,w) = F(n-1,w)    (n>1, w<p[n-1])  

 

F(n,w) = max(F(n-1,w),  F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1])    (n>1, w>=p[n-1])

 

其中第三条是补充上去的，原因不难理解。

方法二：简单递归

 

把状态转移方程式翻译成递归程序，递归的结束的条件就是方程式当中的边界。因为每个状态有两个最优子结构，所以递归的执行流程类似于一颗高度为N的二叉树。

 

方法的时间复杂度是O(2^N)。

 

 

方法三：备忘录算法

 

在简单递归的基础上增加一个HashMap备忘录，用来存储中间结果。HashMap的Key是一个包含金矿数N和工人数W的对象，Value是最优选择获得的黄金数。

 

方法的时间复杂度和空间复杂度相同，都等同于备忘录中不同Key的数量。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法四：动态规划

 

 

 

 

方法利用两层迭代，来逐步推导出最终结果。在外层的每一次迭代，也就是对表格每一行的迭代过程中，都会保留上一行的结果数组 preResults，并循环计算当前行的结果数组results。

 

方法的时间复杂度是 O(n * w)，空间复杂度是(w)。需要注意的是，当金矿只有5座的时候，动态规划的性能优势还没有体现出来。当金矿有10座，甚至更多的时候，动态规划就明显具备了优势。

 

 

 未完

 

标签：map,递归,迭代,备忘录,复杂度,金矿,程序员,动态,小灰
来源： https://www.cnblogs.com/firhk/p/15855694.html