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MCMC笔记Metropilis-Hastings算法（MH算法）

2021-10-18 22:34:17 作者：互联网

1 前言

我们在MCMC笔记：齐次马尔可夫链_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客中介绍了平稳条件，当马尔可夫链达到平稳状态时（也就是各个状态之间的转移概率已经和时间无关了），那我们可以通过此时的马尔可夫链转移概率采集样本。

比如我一开始时样本x0，那么我就根据x0到其他状态的转移概率采样，然后根据后续样 $p(x->x*)=$

那么现在的问题在于，什么时候达到平稳条件呢？或者说，我们怎么去找转移概率呢？

在MCMC笔记：齐次马尔可夫链_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客中，我们知道detailed balance $p(x)p(x->x*)=p(x*)p(x*->x)$ 可以推出平稳条件。

但对于一般随机求得的转移概率q来说， $p(x)q(x->x*)\neq p(x*)q (x*->x)$

于是我们需要构造一个系数，使得 $p(x)q(x->x*) \alpha(x,x*)= p(x*)q (x*->x) \alpha(x*,x)$

我们称 $\alpha(x,x*)$ 为接受率，当等式成立的时候， $q(x->x*) \alpha(x,x*)$ 就是此时平稳条件的 $p(x->x*)$

2 MH算法

2.1 α（接受率）的选取

我们令 $\alpha(x,x*)=min(1,\frac{p(x*)q(x*->x)}{p(x)q(x->x*)})$

此时 $p(x)q(x->x*) \alpha(x,x*)=p(x)q(x->x*)min(1,\frac{p(x*)q(x*->x)}{p(x)q(x->x*)})$

$=min(p(x)q(x->x*),p(x*)q(x*->x))$

$=p(x*)q(x*->x)min(\frac{p(x)q(x->x*)}{p(x*)q(x*->x)},1)$

$=p(x*)q(x*->x)\alpha(x*,x)$

也即 $p(x)p(x->x*)=p(x*)p(x*->x)$ 【 $p(x->x*)=q(x->x*) \alpha(x,x*)$ 】

所以此时满足detailed balance，所以此时的马尔可夫链满足平稳状态

2.2 MH算法流程

接受率是α(x,x*)

参考内容

机器学习-白板推导系列(十三)-MCMC（Markov Chain Monte Carlo）笔记 - 知乎 (zhihu.com)

机器学习-白板推导系列(十三)-MCMC（Markov Chain Monte Carlo）_哔哩哔哩_bilibili

标签：-%,latex,MCMC,29%,MH,3Ex,28x,算法,29q%
来源： https://blog.csdn.net/qq_40206371/article/details/120835469