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数据结构与算法——多路查找树

作者：互联网

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tip：这里对多路查找树是简单介绍和讲解，因为这部分属于深入学习了

二叉树存在的问题

二叉树的操作效率较高，但是也存在问题，如下图所示

当二叉树的节点较少时，不会出现什么问题。但是当节点过多时（海量，如 1 亿），就会出现如下的问题：

  1. 构建二叉树时，需要进行多次 I/O 操作

    节点较多时，一般会存储在文件或则数据库中，进行多次 I/O 获取到所有的节点，速度有影响

  2. 会造成二叉树的高度很大，降低操作速度

多叉树

为了解决层数过多的问题，就出现了 多叉树。

在二叉树中，每个节点只有一个数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是 多叉树（multiway tree）。

多叉树也有一定的规则的，比如后面讲解的 2-3 树、2-3-4 树，就是多叉树。

多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，对二叉树进行优化。

下图则是一颗 2-3 的多叉树：

2-3 的原因：如上图按节点数量来定义的。有的只有 2 个子节点，有的有 3 个子节点。

B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 I/O 读写次数来提升效率。

上图说明：

那么它的优点如何理解呢？

B 树其实就是前面所说的 多叉树

2-3 树

2-3 树是最简单的 B 树结构，具有如下特点：

  1. 所有 叶子节点 都在同一层

    只要是 B 树都满足这个条件，就是满树。

  2. 有两个子节点的节点叫 二节点

    二节点要么 没有子节点，要么 必须有两个子节点。

  3. 有三个子节点的节点叫 三节点

    三节点要么 没有子节点，要么 必须有三个子节点。

  4. 2-3 树是由 二节点 和 三节点 构成的树

2-3 树构建图解

对数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成一个 2-3 树，那么它构建的规则要满足前面说的特点。下面进行图解后，你就明白，上面的特点是如何限制的。

有几个额外的注意事项：

  1. 一个节点中，最多只允许放 2 个数据。
  2. 构建的树必须是有序的，也就是按照二叉排序（BST）的要求构建有序的树

下面是图解步骤：

  1. 添加 16、24

    添加 16 时，没有数据，直接新建一个节点，放进去。

    添加 24 时，发现有一个节点了，并且比 16 大，此时该节点中只有一个数据，则将 24 放在 16 的右边。

  2. 添加 12

    此时会发现，12 比 16 小，本来应该放在 16 的左边，此时发现这个节点 已经有两个数据了，那么就只能放在 左子节点 。

    如果直接将 12 放到 16,24 的左节点，就会破坏 2-3 树的条件：2 节点，要么没有子节点，要么有两个。

    那么此时就只能将 16,24 这个节点进行拆分。如上图：24 变成 16 的右节点，12 变成 16 的左节点。这时就满足了 2-3 的特性。

  3. 添加 32

    这个就简单了，以现在的树结构，可以直接添加到 24 的 右边，变成 24,32

  4. 添加 14

    这个也简单，直接添加到 12 的右边，变成 12,14

  5. 添加 26

    此时应该添加到 24,32 的中间，由于一个节点只能添加两个数据，那么就需要拆分。

    为了满足 B 树特点，发现上层的 16 只有一个数，那么就补足它。组成 16,26。

    因为此时 24,32 这个节点，不满足 BST 的排序了，24 是小于 26 的。只有 32 满足。

    拆完上层，再拆本层：由于 24 介于 16,26 之间，则将它安排在 3 节点中的中间节点，24,32 把 24 拆分出去了，只剩下 32，此时完全满足 B 树的特点。

  6. 添加 34

    此时就简单了，添加到 32,34 中

  7. 添加 10

    此时应该添加到 12,14 的左侧。但是不满足条件：一个节点最多只能装 2 个数据。

    放到 12,14 的左节点，也不满足条件：所有叶子节点必须在同一层，并且也不满足 2-3 节点的数量要求。

    那么此时就需要拆分，先看他的上层 16,26 是满的，如何做呢？看下图：

    左侧的拆分图，上面我们分析过了，不满足 B 树要求。那么就需要拆分成右图这样：

    1. 将 12,14 中的 14 拆分成 右子节点，10 挂在 左节点。
    2. 此时不满足 B 树要求的，则将 16,26 中的 26 拆分成 右子节点。
    3. 24 这个节点由于上层被拆分了，不满足在中间节点了。调整它的位置
    4. 原来的 32,34 节点调整为 16 的右节点。

  8. 添加 8

    此时很简单，组成 8,10 即可

  9. 添加 28

    这里笔者有点小小的疑问，此时 28 不是应该加在 26,28 吗？难道说这里还有一个规则：

    • 只有一个数据的节点，下面只允许 最多有 2 个节点，要么没有
    • 有 2 个数据的节点，下面只允许 最多有 3 个节点，要么没有

  10. 添加 38

此时就简单，直接组成 34,38

  1. 添加 20

    这个也简单，直接组成 20,24

2-3 树添加规则总结

满足如下特点：

  1. 所有 叶子节点 都在同一层

    只要是 B 树都满足这个条件，就是满树。

  2. 有两个子节点的节点叫 二节点

    二节点要么 没有子节点，要么 必须有两个子节点。

  3. 有三个子节点的节点叫 三节点

    三节点要么 没有子节点，要么 必须有三个子节点。

  4. 2-3 树是由 二节点 和 三节点 构成的树

  5. 构建的树，要满足二叉排序树（BST） 的顺序

  6. 一个节点中，最多只允许放 2 个数据。

  7. 只有一个数据的节点，下面只允许 最多有 2 个节点，要么没有

  8. 有 2 个数据的节点，下面只允许 最多有 3 个节点，要么没有

2-3-4 树

除了 2-3 树，还有 2-3-4 树，他的特点是在 2-3 树的基础上，还多了一个 4 节点，同样，一个节点最多可以装 3 个数据，要么有 4 个节点，要么没有。

B 树、B+ 树、B*树

B 树

B-tree 树即 B 树，B 是 Balanced 平衡的意思。

tip

B- 树，这个也是 B 树，只是翻译的文本容易产生误解。

上图就是一个 B 树，说明如下：

B + 树

在 MySQL 中，有些索引就是用 B 树或则 B+ 树实现的。B+ 树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。

B + 树说明：

  1. B+ 树的搜索与 B 树基本相同，区别是 B+ 树只有到达叶子节点才命中（B 树可以在非叶子节点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

  2. 所有 关键字都出现在叶子节点的链表中

    即：数据只能在叶子节点，也叫 稠密索引，且链表中的关键字（数据）恰好是有序的。

  3. 不可能在非叶子节点命中

  4. 非叶子节点相当于是叶子节点的索引，也叫 稀疏索引，叶子节点相当于是存储（关键字）数据的数据层

  5. 更适合文件索引系统

  6. B 树和 B+ 树有各自的应用场景，不能说 B+ 树完全比 B 树好。

B+ 树的这种设计，应该是类似分段思想，比如：5,28,65，下面存放三个节点：

比如查询 30 ，直接找到在第二个节点中，然后往下一个目录索引找，就很快能定位到数据。

B* 树

B* 树是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟的指针

说明：

标签：24,多路,16,要么,叶子,查找,数据结构,添加,节点
来源： https://www.cnblogs.com/ljz111/p/15313551.html