[HNOI2001] 求正整数
作者:互联网
题面
题解
\(rqy\ dalao\) 学姐的题解 + 我自己的理解。
根据算数基本定理。
一个数可以被唯一分解为:
根据组合的知识,它的因子个数显然等于:
\[(k_1 + 1) * (k_2 + 1) * … *(k_n + 1) \](它的因子可以从分解它的质数中,任意选取一些质数来拼。)
而这道题如果用贪心的思想来做显然不行,贪心不行只好尝试 \(dp\)。
设 \(f[i][j]\) 表示用了前 \(j\) 个质数,且因数个数为 \(i\) 的最小正整数是多少。
所以得到状态转移方程:
表示由状态 \(f[i / k][j - 1]\) 即因子个数为 \(i / k\) 个,用了前 \(j - 1\) 个质数的最小正整数,乘上第 \(j\) 个质数的 \(k - 1\) 次方,根据上面那个因子个数的的公式,在乘了过后因子个数显然会变成 \(i / k * (k - 1 +1) = i\) 个。
稍微想想,当因子个数很多时,数据肯定要用高精,但是高精的状态转移显然复杂度很高。所以考虑取 \(log\)。
所以有: \(log(f[i / k][j - 1] * p_{j} ^ {k - 1}) = f[i / k][j - 1] + (k - 1) * logp_j\)
因为所有的 \(f[i][j]\) 都是取了 \(log\) 的,所以那个 \(f[i / k][j - 1]\) 出来之后自然就不要 \(log\) 了。
因为 \(f[i][j]\) 只能从因子个数整除 \(i\) 的状态转移,所以我们可以记录一下哪些状态是整除 \(m\) 的,只从它们转移,因为我们最后只需要 \(m\) 的状态嘛。
跑完 \(dp\) 之后自然就是找路径,因为我们要输出的是原本的值,加一个高精乘单精就好了。
转移过程在代码中。
代码
抄的 \(rqy\) 学姐的 \(tao...\)
\(m\) 在代码中定义成了变量 \(n\)
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
const int M = 1e5 + 5;
const int p[20] = {//注意是从 0 开始,和状态的那个不同
2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71
};
int n,m,d[505];
double f[505][20],logp[20];
struct Mul {
int num[M],len;
inline void mul(int x) {
int v = 0;
for(int i = 0; i < len; i++) {
v = (num[i] = num[i] * x + v) / 10;
num[i] %= 10;
}
while(v) num[len++] = v % 10,v /= 10;
}
}A;
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n; i++) if(n % i == 0) d[m++] = i;//注意这个是 m++
for(int i = 0; i < 20; i++) f[0][i] = 0.0;
for(int i = 0; i < 20; i++) logp[i] = log(p[i]);
for(int i = 1; i <= m; i++) {
for(int k = 0; k < 20; k++) f[i][k] = 1e9;
for(int j = 0; j < i; j++) {
if(d[i] % d[j]) continue;//d数组相当于是到因子个数为d[]的映射
int t = d[i] / d[j];
for(int k = 1; k < 20; k++)
f[i][k] = std::min(f[i][k],f[j][k - 1] + (t - 1) * logp[k - 1]);
}
}
A.num[0] = A.len = 1;
int j = 0;
// 这一步是找出因子个数为 n 的最小正整数
for(int i = 0; i < 20; i++) if (f[m - 1][i] < f[m - 1][j]) j = i;//m - 1 是因为上面是 m++
for(int i = m - 1, nxt; i; i = nxt,j--) {
for(nxt = 0; d[i] % d[nxt] || f[i][j] < f[nxt][j - 1]
+ logp[j - 1] * (d[i] / d[nxt] - 1) - 1e-5; nxt++);
// 暴力找出当前状态是由哪个状态转移过来的,注意要加1e-5,因为在转移过程中会掉精度
for (int k = 1; k < d[i] / d[nxt]; k++)
A.mul(p[j - 1]);// 给答案乘上 pj 的 k - 1 次方
}
while (A.len--) printf("%d", A.num[A.len]);
return 0;
}
标签:正整数,log,int,质数,个数,HNOI2001,因子,num 来源: https://www.cnblogs.com/sjzyh/p/14826177.html