[HNOI2008]玩具装箱TOY
作者:互联网
嘟嘟嘟
决策单调性dp。
首先dp方程很好想
其中\(w(i, j) = (i - j + \sum _ {i = l} ^ {j} C_i - L) ^ 2\)
但是我不会四边形不等式,于是打表,发现决策是单调的,那么就可以优化掉到\(O(n \log{n})\)了。
优化的关键思想是这个状态能更新哪些状态,而不是这个状态由哪些状态更新而来。
而且因为决策单调性,对于当前枚举到的状态\(i\),\(i\)能更新的一定是一个后缀。
所以大体思路就出来了:
1.用一个队列,里面维护三个值:决策\(j\),\(j\)能更新的状态区间\([L, R]\)。
2.枚举状态。
3.检查队首,把队首决策的更新区间小于\(i\)的都扔出去。
4.用当前队首决策更新当前状态\(i\)。
3.检查队尾,看状态\(i\)能更新是否比队尾的决策优(所以状态\(i\)现在是决策)。
具体来说,对于队尾\((j_t, L_t, R_t)\),如果\(dp[i] + w(i + 1, L_t) \leqslant dp[j_t] + w(j_t + 1, L_t)\),说明队尾的这个决策全不要,扔出去;否则在状态区间\([L_t, R_t]\)中二分查找得到\(pos\),把\(R_t\)修改成\(pos\)。
4.队尾插入新决策\((i, pos, n)\)。
因为有二分,所以复杂度为\(O(n \log n)\)。
这里特别容易写错的是二分(至少我是),因为如果不特判当前状态\(i\)什么也更新不了的话,就需要把二分的终止条件改成\(L \leqslant R\),因为这样如果更新不了返回是\(R + 1\),可以简单的判断。
但是像原来写的话返回是\(R\),而因为状态\(i\)可能刚好更新\(R\)这个状态,如果还是认为什么也更新不了的话就会出错。
然后就是动点脑子二分别RE了,具体可看我的代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 5e4 + 5;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n;
ll P, c[maxn], sum[maxn];
ll dp[maxn];
struct Node
{
int pos, L, R;
}q[maxn];
int l = 1, r = 0;
ll w(int L, int R)
{
ll ret = R - L + sum[R] - sum[L - 1] - P;
return ret * ret;
}
int solve(int x, Node a)
{
int L = a.L, R = a.R;
while(L <= R)
{
int mid = (L + R) >> 1;
if(dp[x] + w(x + 1, mid) <= dp[a.pos] + w(a.pos + 1, mid))
{
if(R != mid) R = mid;
else {L = mid; break;}
}
else
{
if(L != mid + 1) L = mid + 1;
else break;
}
}
return L;
}
int main()
{
n = read(); P = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = read(), sum[i] = sum[i - 1] + c[i];
q[++r] = (Node){0, 1, n};
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
while(q[l].R < i) l++; //永远不会弹空
dp[i] = dp[q[l].pos] + w(q[l].pos + 1, i);
q[l].L = i + 1;
while(l <= r && dp[i] + w(i + 1, q[r].L) <= dp[q[r].pos] + w(q[r].pos + 1, q[r].L)) r--;
int pos = solve(i, q[r]); q[r].R = pos - 1;
if(pos <= n) q[++r] = (Node){i, pos, n};
}
write(dp[n]), enter;
return 0;
}
标签:状态,TOY,int,ll,更新,HNOI2008,include,装箱,dp 来源: https://blog.51cto.com/u_15234622/2831199