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概率机器人（1）：有关概率的基本概念

2021-05-28 17:31:25 作者：互联网

目录

3.概率密度函数

6.全概率定理

7.贝叶斯准则（很重要）

1.随机变量

在概率机器人建模时，如传感器测量、控制、机器人的状态及其环境这些都作为随机变量。随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。

2.概率

令 $X$ 为一个随机变量， $x$ 表示 $X$ 的某一个特定值，那么 $p(X=x)$ ，一般可简写成 $p(x)$ ，代表随机变量 $X$ 具有 $x$ 值的概率。

3.概率密度函数

连续随机变量都拥有概率密度函数，普通概率密度函数都是具有均值 $\mu$ 和方差 $\sigma ^{2}$ 的一维正态分布。

正态分布的概率密度函数为： $p(x)=(2\pi \sigma ^{2})^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}$ 。

多元正态分布的密度函数为： $p(x)=det(2\pi \varepsilon )^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu )^{T}\varepsilon ^{-1}(x-\mu )}$ ，其中 $\mu$ 为均值矢量， $\varepsilon$ 为半正定对称矩阵，称为协方差矩阵，上标 $T$ 是向量转置符号。此概率密度函数中指数的参数 $x$ 是二次的，二次函数的参数是 $\mu$ 和 $\varepsilon$ 。

如果 $x$ 为标量，且 $\varepsilon =\sigma ^{2}$ ，则两个定义是等效的。

4.联合分布

两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布，随机变量 $X$ 取值为 $x$ 并且 $Y$ 取值为 $y$ 这一事件的概率，可写成 $p(x,y)=p(X=x,Y=y)$ ；如果X和Y相互独立，那么 $p(x,y)=p(x)p(y)$ 。

5.条件概率

在 $Y=y$ 事件发生下的 $X=x$ 的概率为： $p(x|y)=p(X=x|Y=y)$ ;

如果 $p(y)>0$ ,则可写成 $p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p(y)}$

如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则可写成 $p(x,y)=\frac{p(x)p(y)}{p(y)}=p(x)$

6.全概率定理

离散情况： $p(x)=\sum_{y}p(x|y)p(y)$

连续情况： $p(x)=\int p(x|y)p(y)dy$

7.贝叶斯准则（很重要）

离散： $p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\sum_{x^{'}}p(y|x^{'})p(x^{'})}$

连续： $p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\int p(y|x^{'})p(x^{'})dx^{'}}$

归一化： $p(y)^{-1}$ 通常写成归一化变量 $\eta$ ， $p(x|y)=\eta p(y|x)p(x)$

8.期望

随机变量 $X$ 的期望值为：对于离散， $E(X)=\sum_{x}xp(x)$ ；对于连续， $E(X)=\int xp(x)dx$

期望是随机变量的线性函数，具体来说，对于任意数值 $a$ 和 $b$ ，有： $E[aX+b]=aE(X)+b$

X的协方差可由期望求出： $Cov[X]=E[X-E[X]]^{2}=E[X^{2}]-E[X]^{2}$

9.熵

一个概率分布的熵可表示为： $H_{p}(x)=E[-log_{2}p(x)]$ ，熵是 $x$ 所携带的期望信息；

对于离散变量， $H_{p}(x)=-\sum_{x}p(x)log_{2}p(x)$ ；

对于连续变量 $H_{p}(x)=-\int p(x)log_{2}p(x)dx$ 。

参考书籍《概率机器人》

标签：概率,概率密度函数,机器人,离散,期望,随机变量,基本概念
来源： https://blog.csdn.net/WL1234567891/article/details/117354536