【译】N 皇后问题 – 构造法原理与证明 时间复杂度O(1)
作者:互联网
- [原] E.J.Hoffman; J.C.Loessi; R.C.Moore
- The Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory
- *[译]* EXP 2017-12-29
注意
由于原文使用了“m皇后”进行描述,所以本文从现在开始也使用“m皇后”进行描述。
我这里就不调整为大多数人习惯的“n皇后”了,避免某些数学公式参数混淆。
*【写在前面】*
这是现在网上流传的一套关于M皇后问题的构造法公式,但是这套公式是怎么得来的,却鲜有人知。而文本会详细阐述这套公式的推导过程:
1. 前言
文本核心内容主要译自 E.J.Hoffman、 J.C.Loessi 和 R.C.Moore 发表于 Mathematics Magazine 《数学杂志》 上的学术论文 《Constructions for the Solution of the m Queens Problem》 。
该论文已被美国数学协会 Mathematical Association of America 公开,具体期数为 Vol.42, No.2 (Mar., 1969), pp. 66-72。
该文献可从以下途径购买:
- http://www.jstor.org/stable/2689192
- http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28196903%2942%3A2%3C66%3ACFTSOT%3E2.0.CO%3B2-9
该文献的英文原文链接:
2. 问题背景
M皇后问题: 在M×M格的国际象棋上摆放M个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
根据场景,又有三种衍生问题:
- ① 共有多少种摆法(即有多少种可行解)
- ② 求出所有可行解
- ③ 求任意一个可行解
问题① 属于 禁位排列 问题,目前是存在通项公式直接求解的。
问题② 属于 搜索 问题,在网上也有多种解法,主流是 回溯法(另有衍生的位运算变种算法),但不管如何优化,回溯法都有一个致命的问题:M值不能过大(一般M=30已是极限)。
问题③ 属于 问题② 的子集,因此很多人的切入点依然是回溯法,也有启发式算法的解法:如遗传算法、还有刘汝佳在《算法艺术与信息学竞赛》提出的启发式修补算法。启发式算法在M<10000左右都是可解的,但是因为启发式算法均存在随机性,收敛速度视不同的收敛因子而变化(我看过某篇论文称启发式算法在M=10000时的耗时等价于回溯法M=30的耗时)。
但早在1969年, 问题③ 的解就被 E.J.Hoffman、 J.C.Loessi 和 R.C.Moore 找到了潜在的数学规律,通过推导出数学公式,利用 构造法 使得该问题可在 O(1) 的时间复杂度得到解。
3. 译者的话
① 原文写得有点艰涩,有些中间步骤是跳过了。我就加上自己的理解做了意译,并补上了跳过的步骤和图示,但是核心的推导思路和步骤不会修改。
② 原文首先给出了3个构造式(其实就是m皇后问题的通解式),然后以此为结论展开了一系列的推导证明这3个构造式是正确的。但是这3个构造式真正是怎么得来,原作者并没有说,估计是原作者做了大量的演绎、从m皇后的特解找到了潜在规则所总结出来的通解。
4. 译文:m皇后问题的构造解法
4.1. 数学模型定义
m皇后问题最初是由Gauss(高斯)提出的,该问题描述如下:
是否有可能在一个m×m的国际棋盘上放置m个皇后使得她们无法互相攻击?(注:皇后是国际象棋中的一种棋子,她可以对横、竖、斜三个方向的棋子发起攻击)
这是一个有趣的问题,我们可以将其约束到一个 数学模型 进行描述:
把棋盘定义为一个m×m的方格矩阵,那么对于任意方格可以使用有序对 (i, j)
以表示其行列坐标,其中 1 ≤ i ≤ m
表示该方格的行编号, 1 ≤ j ≤ m
表示该方格的列编号。
同时我们再为每个方格定义一组对角编号:
令自左上到右下方向为主对角线,对于主对角线上的方格 (i, j)
,显然有:
m - j + i = MAJOR_CONSTANT
—— 译者注:这个公式对后续推导起到重要作用
其中 MAJOR_CONSTANT 称之为主对角常数,显然有 1 ≤ MAJOR_CONSTANT ≤ m
,将其定义为方格 (i, j)
的主对角编号。
进一步地,令自右上到左下方向为次对角线,对于次对角线上的方格 (i, j)
,显然有:
i + j - 1 = MINOR_CONSTANT
—— 译者注:这个公式对后续推导起到重要作用
其中 MINOR_CONSTANT 称之为次对角常数,显然有 1 ≤ MINOR_CONSTANT ≤ m
,将其定义为方格 (i, j)
的次对角编号。
【图 1】 m皇后问题的解模型
至此,m皇后问题的解模型可以定义为如下:
放置m个皇后到一个m×m的方格矩阵,使得皇后们的所在的方格同时满足下面所有条件:
- ① 行编号唯一
- ② 列编号唯一
- ③ 主对角编号唯一
- ④ 次对角编号唯一
这个模型足以解决所有m皇后问题(但仅适用于 m ≥ 4
的情况,因为 m = 2、3
时无解,m = 1
的解就不需要讨论了) —— 译者注:这个大前提条件会在最后进行论证
4.2. m皇后通解:三个构造式
由于通解公式相对复杂,为了便于说明,此处不从过程推导出结论,而是反其道而行之:先给出结论的通解公式(且不考虑公式是怎么推演出来的),再证明之。
m皇后问题的解的共由3个构造式组成。
4.2.1. 【构造式A】
令 m = 2n,其中 n = 2, 3, 4, ...
构造式A仅适用于m是偶数的情况,它由两个子公式组成:
【图 2】 使用构造式A解决12皇后问题的解
4.2.2. 【构造式B】
令 m = 2n,其中 n = 2, 3, 4, ...
构造式B同样仅适用于m是偶数的情况,它同样由两个子公式组成:
【图 3】 使用构造式B解决14皇后问题的解
4.2.3. 【构造式C】
构造式C是构造式A或B的扩展推导式,仅适用于m+1是奇数的情况:
当已使用构造式A或B求得一个m×m的皇后问题的解时,若同时增加第 m+1 行和第 m+1 列,那么第 m+1 个皇后应放置在坐标为 (m+1, m+1)
的方格。
【图 4】 构造式C解集图示(在前面构造式B的示例解集基础上增加一行一列)
4.3. 三个构造式的正确性证明
要证明构造式是成立的,只需要证明每个构造式导出的皇后位置均满足:
- ① 行编号唯一
- ② 列编号唯一
- ③ 主对角编号唯一
- ④ 次对角编号唯一
4.3.1. 【构造式A】的证明
4.3.1.1. 【构造式A】
令 m = 2n,其中 n = 2, 3, 4, ...(即m≥4且是偶数):
构造式含义:若把棋盘在横中轴线切开,很明显解集是呈中心旋转对称的,其中上半部分对应PA-1的解集,下半部分对应PA-2的解集:
【图 5】 构造式A解集图示
4.3.1.2. 【定理A】
定理A
对于m皇后问题,当
n != 3λ + 1
(其中λ = 0, 1, 2, ...
)时,则必定可以使用【构造式A】求解。
4.3.1.3. 【定理A】的证明
① 行列编号的唯一性证明:
- 根据 PA-1 导出的皇后位置为
(k, 2k)
,其中1 ≤ k ≤ n
- 根据 PA-2 导出的皇后位置为
(2n+1-l, 2n+1-2l)
,其中1 ≤ l ≤ n
- 明显地,PA-1 的每个皇后放置在前n行的每个奇数列,PA-2 的每个皇后放置在后n行的每个偶数列,亦即每行每列均有且只有一个皇后,行列编号的唯一性得证。
② 主对角编号的唯一性证明:
受 k、l 的取值范围影响,显然是不可能的,主对角编号的唯一性得证。
③ 次对角编号的唯一性证明:
由此可知当 n != 3λ + 1
(λ = 0, 1, 2, ...
)时,次对角编号是唯一的。
综上①②③,定理A得证 。
4.3.2. 【构造式B】的证明
4.3.2.1. 【构造式B】
令 m = 2n,其中 n = 2, 3, 4, ...(即 m ≥ 4 且是偶数):
为了便于说明,对 PB-1 和 PB-2 的对m取mod运算做一下等价处理:
构造式含义:若把棋盘在横中轴线切开,很明显解集是呈中心旋转对称的,其中上半部分对应 PB-1 的解集,下半部分对应 PB-2 的解集。同时根据列编号 mod m 部分的取值( ≥m
或 <m
),PB-1 与 PB-2 的解集又分别拆分成两个分段函数子集:
【图 6】 构造式B解集图示
4.3.2.2. 【定理B】
定理B
对于m皇后问题,当
n != 3λ
(其中λ = 1, 2, 3, ...
)时,则必定可以使用【构造式B】求解。
4.3.2.3. 【定理B】的证明
① 行列编号的唯一性证明:
明显地:
- 当n是偶数时,PB-1 的每个皇后放置在前n行的每个偶数列,PA-2 的每个皇后放置在后n行的每个奇数列;
- 当n是奇数时,PB-1 的每个皇后放置在前n行的每个奇数列,PA-2 的每个皇后放置在后n行的每个偶数列。
- 亦即不论n的奇偶性如何,每行每列均有且只有一个皇后,行列编号的唯一性得证。
② 主对角编号的唯一性证明:
- 化简(1)得
k+l = 4n-2
,但因为MIN(k+l) = 2
,此时n = 1
,与前提条件m=2n≥4 ⇒ n≥2
矛盾,因此(1)不成立。 - 化简(4)得
k'+l' = 2n+4
,与MAX(k'+l') = 2n
矛盾,因此(4)不成立。 - 化简(5)得
k+k' = 2n
从取值范围看显然不成立。 - 化简(6)得
l'-l = 2n
从取值范围看显然不成立。 - 化简(2)得
k+l' = 4
,化简(3)得k'+l = 4
, - 由于
k
与l
的取值范围相同,k'
与l'
的取值范围相同,因此有:
而 n = 3
不在定理B的前提条件 n != 3λ
(λ = 1, 2, 3, ...
)范围内,可以直接排除。
因此 n > 3
(否则 k'
与 l'
不能存在),所以不存在 n = 2
或 n = 3
取值的可能性,亦即(2)(3)实际均不成立。
综上,(1)(2)(3)(4)(5)(6)均不成立,主对角编号的唯一性得证。
③ 次对角编号的唯一性证明:
- 化简(1)得
2n = 3(k+l-2)
,因此k+l-2
必为偶数,令2λ = k+l-2
(λ = 1, 2, 3, ...
),则有2n=3(2λ) ⇒ n=3λ
,即当且仅当n = 3λ
时(1)成立。 - 化简(2)得
4n = 3(k+l'-2)
,因此k+l'-2
必为二重偶数(即至少能被2整除两次),令4λ = k+l'-2
(λ = 1, 2, 3, ...
),则有4n=3(4λ) ⇒ n=3λ
,即当且仅当n = 3λ
时(2)成立。 - 化简(3)得
4n = 3(k'+l-2)
,因此k'+l-2
必为二重偶数(即至少能被2整除两次),令4λ = k'+l-2
(λ = 1, 2, 3, ...
),则有4n=3(4λ) ⇒ n=3λ
,即当且仅当n = 3λ
时(3)成立。 - 化简(4)得
2n = k'+l'-2
,但从k'
与l'
的取值范围可知MAX(k'+l'-2) = n+n-2 = 2n-2
,亦即2n > k'+l'-2
,因此(4)不成立。 - 化简(5)得
2n = 3(k'-k)
,因此k'-k
必为偶数,令2λ = k'-k
(λ = 1, 2, 3, ...
),则有2n=3(2λ) ⇒ n=3λ
,即当且仅当n = 3λ
时(5)成立。 - 化简(6)得
2n = 3(l'-l)
,因此l'-l
必为偶数,令2λ = l'-l
(λ = 1, 2, 3, ...
),则有2n=3(2λ) ⇒ n=3λ
,即当且仅当n = 3λ
时(6)成立。
由此可知,当 n != 3λ
(λ = 1, 2, 3, ...
)时,(1)(2)(3)(4)(5)(6)均不成立,次对角编号的唯一性得证。
综上①②③,定理B得证 。
4.3.3. 【构造式C】的证明
4.3.3.1. 两条【引理】
我们定义棋盘上由方格 (1, 1)
、 (2, 2)
、 (3, 3)
、 ...、 (m, m)
连线所得的对角线为标准对角线,亦即标准对角线的行列编号必有 i == j
。
【图 7】 构造式C解集图示
在证明构造式C之前,首先需要证明两条引理:
- 【引理A】 使用构造式A得到的解,没有任何皇后的坐标是在标准对角线上的。
- 【引理B】 使用构造式B得到的解,没有任何皇后的坐标是在标准对角线上的。
① 【引理A】的证明:
k = 0
与取值范围 k = 1, 2, 3, ..., n
矛盾,l = 0
与取值范围 l = 1, 2, 3, ..., n
矛盾,因此假设不成立,【引理A】得证。
② 【引理B】的证明:
由于 2n=m≥4 ⇒ n≥2
,因此(1)(3)不成立,否则 k,l ≤ 0
,与取值范围矛盾。
又由于(2)(4)的取值范围 k,l ≤ n
,(2)(4)明显不成立。
因此假设不成立,【引理B】得证。
4.3.3.2. 【定理C】
定理C
对于可使用【构造式A】或【构造式B】求解的m皇后问题,若同时增加第 m+1 行和第 m+1 列,使其延展为 m+1 皇后问题,那么这个 m+1 皇后问题也是可解的,且第 m+1 个皇后应放置在坐标为
(m+1, m+1)
的方格。
4.3.3.3. 【定理C】的证明
① 行列编号的唯一性证明:
由于【定理C】是从【定理A】或【定理B】上扩展的,且【定理A】与【定理B】的所有皇后的行列编号唯一性已得到证明,而【定理C】的第 m+1 行与第 m+1 列是新增的,那么第 m+1 个皇后的行列编号也必定是唯一的,因此所有皇后的行列编号必定也是唯一的。
② 主对角编号的唯一性证明:
由于第 m+1 个皇后的主对角线与标准对角线是重合的,而通过【引理A】与【引理B】可知在m×m范围内的标准对角线上不存在任何皇后,换言之标准对角线上只有第 m+1 个皇后,所以主对角线编号是唯一的。
③ 次对角编号的唯一性证明:
对于第 m+1 条次对角线,上面只有 (m+1, m+1)
一个方格,显然次对角线编号是唯一的。
4.4. 大前提条件m≥4的证明
上述所有的证明,都是基于一开始给出的大前提条件:
- 对于构造式A或B:令 m = 2n,其中 n = 2, 3, 4, ...(即 m≥4 且 m是偶数)
- 对于构造式C:在构造式A或B可解的基础上令 m+1(即 m≥5 且 m是奇数)
亦即m皇后问题( m≥4 且 m是偶数)可通过【构造式A】或【构造式B】求解,而 m+1 皇后问题( m+1≥5 且 m是奇数)则可通过【构造式C】求解。
至于为什么 m=1、 m=2 或 m=3 时并不适用于构造式A、B、C就是这里要讨论的。
首先当 m=1 时,虽然是有明确的唯一解,但并不存在 m=2n 的形式。而n作为三个构造式的重要变量,既然一开始就不存在n值,构造式A、B、C也就无从谈起了。
那么需要证明的,就是为什么 m=2 与 m=3 也不可取?
证明:
不难发现,(2)中 m=2 是在 m<4 范围内没有被约束条件限制的特例。
但当 m=2 时 n=1,不妨把 n=1 代入 PB-1 与 PB-2,取值范围均矛盾,无法计算列坐标编号。
因此对于【定理A】与【定理B】而言,m=2 都是不可解的,从而导致 m=3 也不可用【定理C】求解。
证毕(事实上,通过画图可以明显发现 m=2、 m=3 是无解的)。
5. 译者后记:通解转换式(编程用)
在原作者提出的三个构造式A、B、C中,均使用 (i, j)
的二维坐标形式标记每个皇后的位置,从数学角度上更易于表达作者的思想,但是不便于编程使用。
为此译者在这里补充针对构造式A、B、C的转换公式,使用一维坐标形式标记每个皇后位置,以配合编程使用(其实这就是目前网上普遍流传的m皇后问题构造式)。
一维坐标的标记方式为:从第1行开始,依次写出m个数字,分别代表每行的皇后列坐标。亦即行坐标为数序(索引/下标),列坐标为数值。
如序列 [5, 3, 1, 6, 8, 2, 4, 7]
等价于 (1,5), (2,3), (3,1), (4,6), (5,8), (6,2), (7,4), (8,7)
5.1. 【构造式A】的转换式
约束条件:n != 3λ + 1
(其中λ = 0, 1, 2, ...
)
- 即:
m != 2(3λ+1) ⇒ (m mod 6) != 2
(m为偶数) - 且:
m-1 != 6λ+2 ⇒ (m mod 6) != 3
(m为奇数,此时适用于构造式C)
当m为偶数时:
- 把行编号
1~n
代入 PA-1,可得到第1~n
行的解序列:[2, 4, 6, 8, ..., m]
- 把行编号
n+1~2n
代入 PA-2,可得到第n+1~m
行的解序列:[1, 3, 5, 7, ..., m-1]
- 合并两个解序列,就是构造式A的通解转换式(A1):
[2, 4, 6, 8, ..., m], [1, 3, 5, 7, ..., m-1]
………………………………………………………(A1)
当m为奇数时:
- 把行编号
1~m-1
代入(A1),可得到第1~m-1
行的解序列:[2, 4, 6, 8, ..., m-1], [1, 3, 5, 7, ..., m-2]
- 然后直接套用构造式C(增加第m行第m列),则可得到通解转换式(A2):
[2, 4, 6, 8, ..., m-1], [1, 3, 5, 7, ..., m-2], [m]
………………………………………………(A2)
5.2. 【构造式B】的转换式
约束条件:不满足构造式A约束条件的,都可使用构造式B求解。
- 即:
m mod 6 = 2
(m为偶数) - 或:
m mod 6 = 3
(m为奇数,此时适用于构造式C)
当m为偶数时, n=m/2
:
若n为偶数:
- 把行编号
1~n
代入 PB-1,可得到第1~n
行的解序列(注:PB-1是分段函数):[n, n+2, ..., m], [2, 4, 6, ..., n-2]
- 把行编号
n+1~2n
代入 PB-2,可得到第n+1~m
行的解序列(注:PB-2是分段函数):[n+3, n+5, ..., m-1], [1, 3, 5, ..., n+1]
- 合并两个解序列,就是构造式B的通解转换式(B1):
[n,n+2,...,m], [2,4,6,...,n-2], [n+3,n+5,...,m-1], [1,3,5,...,n+1]
………………………………………(B1)
若n为奇数:
- 把行编号
1~n
代入 PB-1,可得到第1~n
行的解序列(注:PB-1是分段函数):[n, n+2, ..., m-1], [1, 3, 5, ..., n-2]
- 把行编号
n+1~2n
代入 PB-2,可得到第n+1~m
行的解序列(注:PB-2是分段函数):[n+3, n+5, ..., m], [2, 4, 6, ..., n+1]
- 合并两个解序列,就是构造式B的通解转换式(B2):
[n, n+2, ..., m-1], [1, 3, 5, ..., n-2], [n+3, n+5, ..., m], [2, 4, 6, ..., n+1]
………………………(B2)
当m为奇数时, n=(m-1)/2
:
若n为偶数:
- 把行编号
1~m-1
代入(B1),可得到第1~m-1
行的解序列:[n, n+2, ..., m-1], [2, 4, 6, ..., n-2], [n+3, n+5, ..., m-2], [1, 3, 5, ..., n+1]
- 然后直接套用构造式C(增加第m行第m列),则可得到通解转换式(B3):
[n, n+2, ..., m-1], [2, 4, 6, ..., n-2], [n+3, n+5, ..., m-2], [1, 3, 5, ..., n+1], [m]
………………(B3)
若n为奇数:
- 把行编号
1~m-1
代入(B2),可得到第1~m-1
行的解序列:[n, n+2, ..., m-2], [1, 3, 5, ..., n-2], [n+3, n+5, ..., m-1], [2, 4, 6, ..., n+1]
- 把行编号1然后直接套用构造式C(增加第m行第m列),则可得到通解转换式(B4):
[n, n+2, ..., m-2], [1, 3, 5, ..., n-2], [n+3, n+5, ..., m-1], [2, 4, 6, ..., n+1], [m]
………………(B4)
5.3. 小结:通解转换式归整
标签:...,复杂度,构造,编号,皇后,2n,对角 来源: https://www.cnblogs.com/RioTian/p/14745949.html