组合数求模

也就是求 C(n,m)%p=？

Lv.1

其中n,m<=2000，p为任意整数

根据题意大约能看出是\(O(n^2)\)的算法可求

我们知道C(n,m)=[C(n-1,m-1)+C(n-1,m)]%p

所以我们能知道这个数最大能到达杨辉三角的第2000行，可以直接预处理的时候把每个数%p即可

Lv.2

其中n,m<=10⁶，p>=10⁹且为质数

根据定义柿：C(n,m)%p=\(\frac{n!}{n!(n-m)!}\)%p=n!%p x (m!)^-1%p x (n-m)^-1%p

因为p是质数，所以对于这个柿子，任何数的逆元一定存在

Lv.3

其中n,m<=10⁶，p<=2000且为质数

因为n,m都可能比p大，所以刚才那个做法里面的逆元不存在

这里引入一个新的定理：卢卡斯定理

对于n和m，已知p为质数，n和m都能表示为p进制：\(n=n_k+n_{k-1}+\cdots+n_1\)，m同理（这里要保证位数能一致，不够的加上前导0

内容：参见OIwiki，经过lucas分解之后就能得到一个p进制的形式，那样的话逆元是存在的，就可以用Lv2的方法求了

LV.4

其中n,m<=10⁶，p=p1*p2，p1和p2都<=2000且为质数

能知道C(n,m)%p1=a1,C(n,m)%p2=a2（利用刚才的方法）

可以使用连理方程组后Excrt求解

x%p1=a1

x%p2=a2

标签：Moring,组合,...+,sum,Day3,QBXT,A2,抽屉,define
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