6-11知识点：数据结构——图

最短路径问题——Floyd算法

一.过程演示

A^(-1)/path^(-1)：不允许在除起点外的任何顶点中转（直达）
A⁽⁰⁾/path⁽⁰⁾：允许在V₀中转
A⁽¹⁾/path⁽¹⁾：允许在V₀、V₁中转
A⁽²⁾/path⁽²⁾：允许在V₀、V₁、V₂中转

A表示：行到列的最短路径长度
A^(-1)=

	V0	V1	V2
V0	0	6	13
V1	10	0	4
V2	5	∞	0

表示两个顶点之间的中转点，一开始不允许中转，写-1
path^(-1)=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1

#0：允许在V₀中转

例：
V₁到V₂
不借助V₀:4
借助V₀:10+13=23
23>4，不修改

A⁽⁰⁾=

	V0	V1	V2
V0	0	6	13
V1	10	0	4
V2	5	11	0

V₂到V₁借助V₀中转

path⁽⁰⁾=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	0	-1

即：每次选择更小的
用A^(K-1) [i][j]表示上一轮从i到j的路径长度
通过K中转

每次判断A^(K-1) [i][j]和A^(K-1) [i][k]+A^(K-1) [k][j]的大小关系，如果通过中转的路径更小，则更新当前轮（K轮）从i到j的A表
A^(K) [i][j]=A^(K-1) [i][k]+A^(K-1) [k][j]

并修改path表中i到j的数据为k
path^(K) [i][j]=k

#1：允许在V₀、V₁中转

A⁽¹⁾=

	V0	V1	V2
V0	0	6	10
V1	10	0	4
V2	5	11	0

path⁽¹⁾=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	0	-1

#2：允许在V₀、V₁、V₂中转

A⁽²⁾=

	V0	V1	V2
V0	0	6	10
V1	9	0	4
V2	5	11	0

path⁽²⁾=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	1
V1	2	-1	-1
V2	-1	0	-1

通过观察表得出

V₁到V₂的
最短路径长度为：4
最短路径为：V₁→V₂（-1表示直达）

V₁到V₀的最短路径：V₁→V₂→V₀

二.代码实现

for(int k=0;k<n;k++)//以Vk为中转点
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)//i为行号，j为列号
		{
			if（A[i][j]>a[i]a[k]+a[k][j])
			{
				A[i][j]=a[i]a[k]+a[k][j];
				path[i][j]=k;
			}
		}
	}
}

三.时间复杂度、空间复杂度

时间复杂度：O(|V|³)
空间复杂度：O(|V|²) (需要A和path两个辅助矩阵)

四.进阶

A^(-1)=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	∞	1	∞	10
V1	∞	0	∞	1	5
V2	∞	1	0	∞	7
V3	∞	∞	∞	0	1
V4	∞	∞	∞	∞	0

path^(-1)=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	-1	-1	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1	-1	-1
V3	-1	-1	-1	-1	-1
V4	-1	-1	-1	-1	-1

#0：允许在V₀中转

A⁽⁰⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	∞	1	∞	10
V1	∞	0	∞	1	5
V2	∞	1	0	∞	7
V3	∞	∞	∞	0	1
V4	∞	∞	∞	∞	0

path⁽⁰⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	-1	-1	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1	-1	-1
V3	-1	-1	-1	-1	-1
V4	-1	-1	-1	-1	-1

#1：允许在V₀、V₁中转

A⁽¹⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	∞	1	∞	10
V1	∞	0	∞	1	5
V2	∞	1	0	2	6
V3	∞	∞	∞	0	1
V4	∞	∞	∞	∞	0

path⁽¹⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	-1	-1	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1	1	1
V3	-1	-1	-1	-1	-1
V4	-1	-1	-1	-1	-1

#2：允许在V₀、V₁、V₂中转

A⁽²⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	2	1	3	7
V1	∞	0	∞	1	5
V2	∞	1	0	2	6
V3	∞	∞	∞	0	1
V4	∞	∞	∞	∞	0

V₀到V₃新添加了中转点V₂导致path[0][3]更新（原来V₀到V₃无路径，现在变为V₀→V₂→V₁→V₃），因此中转点写最新加入的2

path⁽²⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	-1	2	-1	2	2
V1	-1	-1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1	1	1
V3	-1	-1	-1	-1	-1
V4	-1	-1	-1	-1	-1

#3：允许在V₀、V₁、V₂、V₃中转

A⁽³⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	2	1	3	4
V1	∞	0	∞	1	2
V2	∞	1	0	2	3
V3	∞	∞	∞	0	1
V4	∞	∞	∞	∞	0

path⁽³⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	-1	2	-1	2	3
V1	-1	-1	-1	-1	3
V2	-1	-1	-1	1	3
V3	-1	-1	-1	-1	-1
V4	-1	-1	-1	-1	-1

#4：允许在V₀、V₁、V₂、V₃、V₄中转

A⁽⁴⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	2	1	3	4
V1	∞	0	∞	1	2
V2	∞	1	0	2	3
V3	∞	∞	∞	0	1
V4	∞	∞	∞	∞	0

path⁽⁴⁾=

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	-1	2	-1	2	3
V1	-1	-1	-1	-1	3
V2	-1	-1	-1	1	3
V3	-1	-1	-1	-1	-1
V4	-1	-1	-1	-1	-1

通过表格得到
V₀到V₄的最短路径长度A[0][4]=4

最短路径：path[0][4]=
V₀→V₃→V₄=
(V₀→V₂)→V₃→V₄=
V₀→(V₂→V₁)→V₃→V₄

注：
（1）相邻两顶点之间的path若不为-1，应展开
（2）以上书写为便于理解，并非标准解题过程

五.Floyd算法用于负权图

#-1：不允许中转

A^(-1)=

	V0	V1	V2
V0	0	1	7
V1	∞	0	-5
V2	∞	∞	∞

path^(-1)=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1

#0：允许在V₀中转

A⁽⁰⁾=

	V0	V1	V2
V0	0	1	7
V1	∞	0	-5
V2	∞	∞	∞

path⁽⁰⁾=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	-1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1

#1：允许在V₀、V₁中转

A⁽¹⁾=

	V0	V1	V2
V0	0	1	-4
V1	∞	0	-5
V2	∞	∞	∞

path⁽¹⁾=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1

#2：允许在V₀、V₁、V₂中转

A⁽²⁾=

	V0	V1	V2
V0	0	1	-4
V1	∞	0	-5
V2	∞	∞	∞

path⁽²⁾=

	V0	V1	V2
V0	-1	-1	1
V1	-1	-1	-1
V2	-1	-1	-1

通过表格，V₀到V₂的最短路径长度为：|-4|=4
最短路径为：V₀→V₁→V₂

六.缺点

通过回路无限循环，总路径长度会越来越小，因此Floyd 算法不能解决带有“负权回路”的图（有负权值的边组成回路），这种图有可能没有最短路径

七.BFS算法、Dijkstra算法、Floyd 算法对比总结

注：
（1）BFS算法的时间复杂度与广度优先遍历相同
邻接矩阵：O(|V|²)
邻接表：O(|V|+|E|)
（2）也可用Dijkstra 算法求各顶点间的最短路径，重复 |V| 次即可：分别以每个顶点作为源顶点，求该顶点到达其他顶点的路径。时间复杂度为O(|V|)*O(|V|²)，即总的时间复杂度也是O(|V|³)

标签：11,知识点,中转,V0,V1,V2,path,数据结构,1V2
来源： https://blog.csdn.net/weixin_45825865/article/details/116355081