三角形某角取到最大值时

前言

当题目中有关键词“三角形某角取到最大值时”，这类题目常常要用到某三角函数的单调性，也常会用到均值不等式.

典例剖析

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第16题】已知三角形的内角 \(A、B、C\) 所对的对边分别是 \(a、b、c\) ，若 \(a=\sqrt{2}\) ， \(b^2-c^2=6\) ，则角 \(A\) 取得最大值时，三角形 \(ABC\) 的面积为_________。

分析：由\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-2}{2bc}\)

\(=\cfrac{b^2+c^2-\cfrac{b^2-c^2}{3}}{2bc}=\cfrac{b^2+2c^2}{3bc}\geqslant \cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，

即 \(cosA\) 的最小值为 \(\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\) ，当且仅当 \(b=\sqrt{2}c\) 且 \(b^2-c^2=6\) ，

即 \(b=2\sqrt{3}\) ， \(c=\sqrt{6}\) 时取到等号；此时 \(A\) 取到最大值，\(sinA=\cfrac{1}{3}\)，

故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \cfrac{1}{3}=\sqrt{2}\)。

反思：①常数代换，由\(2=\cfrac{6}{3}=\cfrac{b^2-c^2}{3}\)，之所以做常数代换，是为了整理后便于使用均值不等式求\(cosA\)的最值。

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