星空之夜-详细题解-欧氏距离法
作者：互联网
题目：星空之夜（usaco training 5.1）
题目描述
夜空深处，闪亮的星星以星群的形式出现在人们眼中，形态万千。
一个星群是指一组非空的在水平，垂直或对角线方向相邻的星星的集合。
一个星群不能是一个更大星群的一部分。
星群可能是相似的。
如果两个星群的形状、包含星星的数目相同，那么无论它们的朝向如何，都认为它们是相似的。
通常星群可能有 8 种朝向，如下图所示：
现在，我们用一个二维 01 矩阵来表示夜空，如果一个位置上的数字是 1，那么说明这个位置上有一个星星，否则这个位置上的数字应该是 0。
给定一个夜空二维矩阵，请你将其中的所有星群用小写字母进行标记，标记时相似星群用同一字母，不相似星群用不同字母。
标注星群就是指将星群中所有的 1 替换为小写字母。
输入格式
第一行包含一个整数 W，表示矩阵宽度。
第二行包含一个整数 H，表示矩阵高度。
接下来 H 行，每行包含一个长度为 W 的 01 序列，用来描述整个夜空矩阵。
输出格式
输出标记完所有星群后的二维矩阵。
用小写字母标记星群的方法很多，我们将整个输出读取为一个字符串，能够使得这个字符串字典序最小的标记方式，就是我们想要的标记方式。
输出这个标记方式标出的最终二维矩阵。
数据范围
0
≤
W
,
H
≤
100
,
0≤W,H≤100,
0≤W,H≤100,
0
≤
星
群
数
量
≤
500
,
0≤ 星群数量 ≤500,
0≤星群数量≤500,
0
≤
不
相
似
星
群
数
量
≤
26
,
0≤ 不相似星群数量 ≤26,
0≤不相似星群数量≤26,
1
≤
星
群
中
星
星
的
数
量
≤
160
1≤ 星群中星星的数量 ≤160
1≤星群中星星的数量≤160
输入样例：
23
15
10001000000000010000000
01111100011111000101101
01000000010001000111111
00000000010101000101111
00000111010001000000000
00001001011111000000000
10000001000000000000000
00101000000111110010000
00001000000100010011111
00000001110101010100010
00000100110100010000000
00010001110111110000000
00100001110000000100000
00001000100001000100101
00000001110001000111000
输出样例：
a000a0000000000b0000000
0aaaaa000ccccc000d0dd0d
0a0000000c000c000dddddd
000000000c0b0c000d0dddd
00000eee0c000c000000000
0000e00e0ccccc000000000
b000000e000000000000000
00b0f000000ccccc00a0000
0000f000000c000c00aaaaa
0000000ddd0c0b0c0a000a0
00000b00dd0c000c0000000
000g000ddd0ccccc0000000
00g0000ddd0000000e00000
0000b000d0000f000e00e0b
0000000ddd000f000eee000
样例解释
样例对应的星空图如下：
答案对应的标记后星空图如下：
预备知识：
欧式距离
即欧几里得距离，公式如下：
欧式距离算法
欧式距离算法的核心是：设图像矩阵有n个元素（n个像素点），用n个元素值(x1，x2，…，xn)组成该图像的特征组（像素点矩阵中所有的像素点）， 特征组形成了n维空间（欧式距离就是针对多维空间的），特征组中的特征码（每一个像素点）构成了每一维的数值，就是x1（第一个像素点）对应一维，x2（第二个像素点）对应二维，. . .，xn（第n个像素点）对应n维。在n维空间下，两个图像矩阵各形成了一个点，然后利用数学上的欧式距离公式计算这两个点之间的距离，距离最小者就是最匹配的图像。
连通块
一个图形中的所有点都可以通过一条或多条路径相互到达的，叫做连通块。
难点 & 细节：
1、如何先判断形状是否相同？
由于需要区分一个图形与他本身翻转，旋转后的图形是同一个，即判断图形是否相同，根据上面的预备知识，我们发现可以使用欧式距离算法。
这个问题的本质就是在问：如何存储一个图像？
我们通过计算连通块中每个点之间的欧式距离，并把它们全部加起来，加起来的这个值就是这个图形的特征。
如果两个不同的连通块的特征相同，则说明这两个连通块的形状相同。
2、如何判断特征相同？
由于在计算机中，double数据类型的值不是精确的，这导致我们不能直接判断两个特征值是否相同，为此我们人为规定一个误差值，只要两个图形的特征值的差小于这个误差值，则认为两个图形本质上是一个图形。
3、是否可能出现两个不同的图形但是特征值却相同的情况？
有可能，欧氏距离算法得出的特征值只是一个估计值，并不能保证百分之一百能够区分开所有图形，这是不可避免的。
代码实现
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath> // 开根号需要
#include <algorithm>
// 预处理数据
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
const double eps = 1e-8;
int n, m; // 行，列
char g[N][N]; // 二维存图
PII q[N * N]; // 存储连通块的所有点
int top; // 当前连通块里有多少个点
// 求两点之间的欧式距离
double get_dist(PII a, PII b) {
double dx = a.x - b.x;
double dy = a.y - b.y;
return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
// 获取图像的特征值/哈希值
double get_hash() {
double sum = 0;
for (int i = 0; i < top; i ++ )
for (int j = i + 1; j < top; j ++ )
sum += get_dist(q[i], q[j]);
return sum;
}
// 查看当前连通块的字母，key是特征值
char get_id(double key) {
static double hash[30]; // 用来存储所有不相似星群
static int id = 0; // 当前有多少星群
for (int i = 0; i < id; i ++ )
// 判断当前图形与其他图形的特征值是否相同
// 只有两个特征值小于eps才能够判定这两个连通块是否为同一个图形
if (fabs(hash[i] - key) < eps)
return i + 'a';
hash[id ++ ] = key;
return id - 1 + 'a';
}
// 搜索当前连通块（Flood-Fill算法）
void dfs(int a, int b) {
q[top ++ ] = {a, b};
g[a][b] = '0';
// 判断该点四周能不能连
for (int i = a - 1; i <= a + 1; i ++ ) {
for (int j = b - 1; j <= b + 1; j ++ ) {
// 如果是中心点，跳过
if (i == a && j == b) continue;
// 判断是否出界和能不能连
if(i >= 0 && i < n && j >= 0 && j < m && g[i][j] == '1')
// 继续搜索下一个点
dfs(i, j);
}
}
}
int main() {
// 数据输入
cin >> m >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];
// 枚举所有格子
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ ) {
// 如果当前格子是1
if (g[i][j] == '1') {
// 则清空连通块的所有点
top = 0;
// 搜索当前连通块
dfs(i, j);
// 查看当前连通块的字母
char c = get_id(get_hash());
// 将当前连通块所有点填上相应的字母（即char类型变量c）
for (int k = 0; k < top; k ++ )
g[q[k].x][q[k].y] = c;
}
}
// 输出整个图形矩阵
for (int i = 0; i < n; i ++ )
cout << g[i] << endl;
return 0;
}
标签：连通,星空,int,题解,++,double,欧氏,图形,星群 来源： https://blog.csdn.net/Gerlen_X/article/details/115605625