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组合数学 2.2 - 多重集的排列

作者:互联网

组合数学 2.2 - 多重集的排列

定义 2.2.1:有 \(n_1\) 个 \(a_1\),\(n_2\) 个 \(a_2\),\(\dots\),\(n_k\) 个 \(a_k\) 组成的集合记为 \(M=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k\}\) 称为多重集。\(M\) 的总元素个数为 \(\sum\limits_{i=1}^k n_i\)。

定义 2.2.2:设 \(M=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k\}\),\(\pi\) 是集合 \(\{a_1,a_2,\dots,a_k\}\) 的一个 \(n~-\) 可重复排列,若 \(\pi\) 中有 \(n_1\) 个 \(a_1\),\(n_2\) 个 \(a_2\),\(\dots\),\(n_k\) 个 \(a_k\)。称 \(\pi\) 是多重集 \(M\) 的一个全排列。

定理:多重集 \(M=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k\}\) 的全排列个数 \(N=\dfrac{(\sum\limits_{i=1}^k n_i)!}{\prod\limits_{i=1}^k n_i!}\)。

定义 2.2.3:设 \(M=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k\}\),\(A=\{s_1\cdot a_1,s_2\cdot a_2,\dots,s_k\cdot a_k\}\),其中 \(0\leqslant s_i\leqslant n_i\)。我们称 \(A\) 是 \(M\) 的一个子集。进一步,设 \(r=\sum\limits_{i=1}^k s_i\),称 \(A\) 是 \(M\) 的 \(r~-\) 子集。由 \(r~-\) 子集中元素构成的排列称为 \(r~-\) 排列。

例 2.2.1:求多重集 \(M=\{5\cdot a,3\cdot b\}\) 的 \(6~-\) 排列个数。

解:

不难发现 \(6~-\) 排列具体可分类成:\(\begin{cases}\{5\cdot a,b\}\\\{4\cdot a,2\cdot b\}\\\{3\cdot a,3\cdot b\}\end{cases}\)。则可以直接根据公式可以求得:

因此排列总数为 \(6+15+20=41\)。

标签:dots,排列,cdot,个数,多重集,2.2
来源: https://www.cnblogs.com/Eason-AC/p/Permutation-and-Combination-Part-2-2.html