北航数学分析(1)期中复习小结(个人整理,仅供参考!)
作者:互联网
数分(1)期中总结
复习大纲
- 集合与映射(交并补、单射、双射、满射);
- 数列(确界原理、极限运算、柯西收敛准则、Stolz定理、单调确界定理、子列与主列关系);
- 函数(极限运算、Heine定理(联系数列与函数)、柯西收敛准则、连续性、零点存在定理、介值定理、闭区间套定理、有限开覆盖定理、一致连续性);
- 导数与微分(导数运算、多阶导数运算、隐函数求导、参数方程求(多阶)导、导数存在及连续性);
- 微分中值定理(函数配凑、费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理);
- 级数入门(泰勒展开)(基本展开、Peano余项、Maclaurin展开、Lagrange余项(类似中值定理));
知识点细分
一、集合与映射
二、数列
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ε-δ语言证明极限;
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确界定理;
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上确界与下确界的证明;
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单调有界定理(单调性+有界---->极限存在);
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(类)调和级数收敛性证明;
\[\begin{align*} &\ast p>1 \\&S_n=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\cdots+\frac{1}{n^p} \\&\leq 1+(\frac{1}{2^p}+\frac{1}{2^p})+(\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p})+\cdots \\ &+\underbrace{\frac{1}{(2^n)^p}+\frac{1}{(2^n)^p}+\frac{1}{(2^n)^p}+\cdots+\frac{1}{(2^n)^p}} \\&\ast\ast p<=1 \\&需先证明调和级数发散 \end{align*} \] -
e与\((1+\frac{1}{n})^{n}\) 以及\((1+\frac{1}{n})^{n+1}\)的关系;
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Stolz定理对”0/0“数列极限的求解;
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闭区间套定理;
\[\begin{align*} & I_n=[a_n,b_n],n\in N^* \\&(1)\quad I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset\cdots\supset I_{n-1}\supset I_n\supset\cdots \\&(2)\quad \left|I_n\right|=b_n-a_n\rightarrow 0\quad(n\rightarrow\infty) \\&\exists!\xi\in[a_n,b_n] \quad s.t.\xi\in\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \end{align*} \] -
有限开覆盖定理;
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列紧性定理;
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柯西收敛准则;
三、函数
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ε-δ语言证明极限;
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极限性质:唯一性、保号性、局部有界性;
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夹逼定理;
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海涅定理(Heine定理)
\[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在的充要条件是对任意以x_0为极限的数列\{x_n\},其相应的\{f(x_n)\}收敛。 \] -
柯西收敛定理;
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连续函数的定义,以及对求函数极限的影响;
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函数的间断点(第一类间断点:跳跃间断点(左右极限不一致)、可去间断点(左右极限一致,但该点函数不一致);第二类间断点:无定义、趋向无穷);
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无穷大与无穷小的阶(要会算阶数);
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等价无穷小(加减慎用);
\[\begin{align*} & x\rightarrow0 \\& \sin{x}\thicksim x &&\arcsin{x}\thicksim x, \\& 1-\cos{x}\thicksim x &&\ln(1+x)\thicksim x, \\&\tan{x}\thicksim x &&\arctan{x}\thicksim x, \\&e^x-1\thicksim x &&(1+x)^\lambda-1\thicksim \lambda x \end{align*} \] -
一致连续性 (极其重要,一定要会多种证明方法):
已知方法:1 定义法:配凑出|f(x1)-f(x2)| < M|x1-x2|的形式;
2 拉格朗日法:用拉格朗日中值定理(前提是知道导函数有界);
3 数列法(证不一致连续):构造满足\(\lim_{n\rightarrow\infty}|s_n-k_n|=0\)的数列,但\(\lim_{n\rightarrow\infty}|f(s_n)-f(k_n)|\neq0\),即可证明\(f(x)\)在定义域上不一致连续。
4 分区间法(康托定理):将\([a,+\infty)\)拆分为\([a,M+1]\)与\([M,+\infty)\),前者区间可以用康托定理,后者可以使用拉格朗日中值定理或柯西收敛准则来证明一致连续,前提是\(\lim_{x\rightarrow+\infty}{f(x)}\)存在。
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连续函数闭区间有界定理、开区间一致连续有界定理、最值存在定理;
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零点存在定理、介值定理(用于构造函数来证明:\(\exists\xi\in[a,b]~~~~s.t.F(\xi)=\xi\)(一般是原函数))
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连续函数在闭区间上一定一致连续(康托定理);
四、导数与微分
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导数的基本定义(初等函数导函数证明);
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单点导数存在以及导函数连续的差异;
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复合函数、隐函数、反函数、参数函数(二阶导)、极坐标的求导运算(证明);
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求高阶导数(莱布尼兹公式);
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函数图像性质(单调性、凹凸性、极值点(驻点,是\(x\)坐标)、拐点(是一个坐标点));
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洛必达法则
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Darboux定理(达克定理)
\(f在区间I上可微,则f'具有介值性\)
五、微分中值定理
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费马引理;
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罗尔(Rolle)中值定理;
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拉格朗日(Lagrange)中值定理;
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柯西(Cauchy)中值定理;
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函数的微分(性质、应用)
六、泰勒展开
- 泰勒展开的基本方式;
- Peano余项;
- Lagrange余项;
做题总结
- 求极限的基本顺序:直接求\(\longrightarrow\)夹逼定理、Stolz定理、洛必达法则、等价替换\(\longrightarrow\)微分中值定理\(\longrightarrow\)泰勒展开
- 微分中值定理
- 泰勒展开
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