文章目录

• 一 极限
• • 1.1 极限定义
  • 1.2 极限的一般性质
  • 1.3 极限的运算性质
  • 1.4 两个重要极限
• 二 无穷小
• • 2.1 无穷小的定义
  • 2.1 无穷小的性质
• 三 其他
• 四 例题
• • 4.1 题型二 左右极限
  • 4.2 题型三 不定型计算
  • 4.2 题型四 n项和或积的极限计算
  • 4.3题型五 极限存在性问题
  • 4.4题型六 含参极限问题
• 五 接力题典

一 极限

1.1 极限定义

函数极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等

1.2 极限的一般性质

• 唯一性 极限若存在，则极限一定唯一

• 保号性 存在去心邻域使得f(x)同号

• 有界性

  • 数列极限的有界性
  • 函数极限的局部有界性

• 极限存在则任一子列存在相同极限，反之不对

1.3 极限的运算性质

注解

夹逼定理/迫敛定理

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1.4 两个重要极限

二 无穷小

2.1 无穷小的定义

无穷小的比较

2.1 无穷小的性质

• 有限个 无穷小 的和差积仍为无穷小，常数/有界函数与无穷小之积仍是无穷小
• 常用的等价无穷小 【重点：x是趋于0的】

三 其他

常见的不等式

四 例题

4.1 题型二 左右极限

4.2 题型三 不定型计算

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1. (1+x)^1/x ~ e, tanx ~ x , x^2/2~1-cosx

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3. 换元 同阶等量替换未必正确！！

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下面写一种错误的替换方法

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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8w96R3UT-1616495152292)(http://eaoblok.top:3880/images/2021/03/23/image-20210320204843392.png)]

总结

表面上来说整体上是加减不能用等价无穷小，整体上是乘除才能用

6.上下除以x，保证精度不丢失

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4.2 题型四 n项和或积的极限计算

思路：

• 先计算和/积再计算极限
• 夹逼定理（分子/分母不齐次时候）
• 定积分定义（分子分母都齐次）

1. sin 2x = 2 * sinx * cosx 注意是n趋于∞，x当作常量

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4.3题型五 极限存在性问题

1. 单调+有界

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4.4题型六 含参极限问题

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五 接力题典

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