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最小二乘法的两种应用

作者:互联网

输入矩阵X:

\left [ \begin{matrix} x_{11} &x_{12} &... &x_{1n} \\ x_{21} &x_{22} &... &x_{2n} \\ ...& ...& ...&... \\ x_{m1} &x_{m2} &... &x_{mn} \\ \end{matrix}\right ]

系数矩阵W:

\left [ \begin{matrix} w_{1}\\ w_{2}\\ ...\\ w_{n} \end{matrix} \right ]

输出矩阵Y:

\left [ \begin{matrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{m} \end{matrix} \right ]

一般情况下,m>n,也就是方程数要大于未知数,才用最小二乘法求系数矩阵W。下面根据Y矩阵是否为零矩阵来讨论如何求W:

Y矩阵不为零矩阵

直接套用公式:

W=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y

Y矩阵为零矩阵

在||W||=1的前提下,X^{T}X的最小(n-rank(X))个特征值对应的特征向量的线性组合为W。也就是对X进行SVD奇异值分解:

U,S,V=SVD(X)

X=USV^{T}

即V矩阵最右侧(n-rank(X))个特征值对应的特征向量的线性组合为W。

W=\lambda _{1}V_{n-r+1}+\lambda _{2}V_{n-r+2}+...+\lambda _{r}V_{n-r+1}

其中\lambda可以根据\left \| W \right \|=1及其他一些条件求解。

 

 

标签:特征值,特征向量,矩阵,最小,rank,线性组合,应用,乘法
来源: https://blog.csdn.net/Jaguar_95/article/details/114970297