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可合并堆1：二项堆（Binominal Heap）

2021-02-19 09:58:09 作者：互联网

二项堆是一种可合并队，其合并的复杂度为 $O(log(n)+log(m))$ 。二项堆与二项树有着天然的联系，解析二项堆之前，先解析二项树。

1k阶二项树 $B_{k}$ 是一个递归定义：

(1)单个节点是一颗二项树，表示为 $B_{0}$

(2)二项树 $B_{k}$ 由两颗 $B_{k-1}$ 二项树组成

(3)像最小二项树一样，两颗 $B_{k-1}$ 二项树组成一个 $B_{k}$ ，其中一个根节点较小二项树的根形成新树的根节点，另外一个作为其子树。如下图所示均是k阶二项树。

上图分别是 $B_{0}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 。由定义可知，k阶二项树 $B_{k}$ 的节点的数量和必为偶数，且每颗k阶二项树 $B_{k}$ 由 $B_{0}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ... $B_{k-1}$ 组成，k指的是根节点下孩子节点的数量。而最右边的图所示不是k阶二项树。由此可以导出二项树有如下性质

性质1：k阶二项树 $B_{k}$ 的总节点数量为 $2^{k}$

归纳法可证。当k=0时, $B_{1}$ 节点数量的为 $2^{0}=1$ ，假设 $B_{k-1}$ 的节点数量为 $2^{k-1$ ，而 $B_{k}$ 是两颗 $B_{k-1}$ 组成的，所以 $B_{k-1}$ 的节点数量为 $2^{k-1$ + $2^{k-1$ = $2^{k}$ ，性质1得证。

性质2：二项树的高度为k(高度定义根节点到最远叶子节点上的简单路径上边的数目)

归纳法可证。当k=0时, $B_{0}$ 的高度为0，假设二项树 $B_{k-1}$ 的高度为k-1，由于 $B_{k}$ 是由两颗 $B_{k-1}$ 合并而得，且合并后其中一颗 $B_{k-1}$ 作为了新树根的左子树，所以新树 $B_{k}$ 的高度= $B_{k-1}$ 的高度+1=k-1+1，性质2得证。

性质3::在高度为 $i,i=0,1,2...k$ 的层次上，有 $\binom{k}{i}$ (即 $C_{k}^{i}$ )个节点

当k=1时，显然成立。假设 $B_{k-1}$ 上第 $i$ 层上节点数目 $C_{k-1}^{i}$ ，而 $B_{k}$ 是由两颗 $B_{k-1}$ 合并而得,合并后其中一颗 $B_{k-1}$ 作为了新树根的左子树，合并后新树第 $i$ 层节点的数量由原 $B_{k-1}$ 的第 $i$ 层的节点和作为左子树的 $B_{k-1}$ 的 $i-1$ 层节点的数量，设为total，即 $total=C_{k-1}^{i}+C_{k-1}^{i-1}=\frac{(k-1)!}{i!(k-i-1)!}+\frac{(k-1)!}{(i-1)!(k-i)!}=\frac{(k-1)!}{(i-1)!(k-i-1)!}(\frac{1}{i}+\frac{1}{k-i})=\frac{k!}{i!(k-i)!}=C_{k}^{i}$ 所以二项树 $B_{k}$ 的第 $i$ 层上的节点数量为 $C_{k}^{i}$

性质4：根节点的度（一个节点的度为一个节点的孩子数目）为k，如果根节点下孩子从左到右编号为k-1,k-2,...0，则孩子节点 $i$ 对应的是二项树 $B_{i}$

根据二项树 $B_{k}$ 的组成定义，可得到性质4

由于二项树的节点数必为偶数，作为优先队列的选择，不能满足奇数是个致命缺陷。那如何才能满足奇数呢，可不可以把不同度数的二项树“组合”起来，便可以满足奇数的要求，而且还可以满足堆性质，满足作为优先队列的条件。这些二项树“组合”起来的数据结构便是二项堆。

2 单个二项堆是由二项树组成的森林，森林中每颗二项树的度是唯一的，也就是有如下性质。

（1）在二项堆中，对每个 $k\geq 0$ ，最多只有1个度为 $k$ 的二项树

（2）二项堆中的节点数量n与二进制数n有一定关系，具体如下图所示。为如下序列构建二项堆

从上述过程，可以观察到如下结论

(1)上述例子，节点n=8，其二进制为1000，对应位上即 $B_{3}$ =1， $B_{2}$ =0， $B_{1}$ =0， $B_{0}$ =0，代表此二项堆只有一颗 $B_{3}$ 的二项树

(2)如果n=11，其二进制为1011，对应位上 $B_{3}$ =1， $B_{2}$ =0， $B_{1}$ =1， $B_{0}$ =1，由三颗二项树组成 $B_{3}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{0}$ 组成。而对于每个数n，有其唯一的二进制表达式，所示对节点数为n的二项堆，其组成是唯一的。

性质3：二项堆有n个节点，其高度不大于 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$

二项堆的高度取决于其森林中第一颗二项树的高度，也就是n转化的二进制数中的首位‘1’代表的二项树，当森林中只有一颗二项树时，高度最大，为 $log(n)$ ，所以二项堆的高度不大于 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$

性质4：二项堆有n个节点，其长度不大于 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$ +1

二项堆的长度定义二项堆森林中二项树的个数，也就是节点数n转化为二进制数中数位‘1’的个数。对于一个数n，其转化为二进制后的位数为 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$ +1，其中数位‘1’的个数必然不大于 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$ +1

2.1二项堆的存储

二项堆有如下三个指针

（1）父节点指针，指向此节点的父节点

（2）左儿子指针：指向最左的孩子

（3）右兄弟指针：指向此节点的右兄弟

如上图所示，最上层的是根节点链表，横向指针是右兄弟指针，向下的是左儿子指针，向上的是父节点指针，

2.2二项堆的操作如下

2.1.1· 合并操作

（1）待合并的2个二项堆森林合并一个二项堆森林

（2）新的二项堆执行合并过程（consolidation）。即按照度数从小到大，将度数一样的二项树进行合并，直至森林中不存在度数一样的二项树为止。

合并过程类似于二进制中的加法。如下图所示。

如上图所示，两颗二项堆的合并，从各自度数最小的二项树开始合并，如两个 $B_{0}$ 合并成一个 $B_{1}$ ，两个 $B_{1}$ 合并一个 $B_{2}$ ，如果两个堆 $B_{2}$ 都存在，则进位过来的 $B_{2}$ 保留，原堆上的两个 $B_{2}$ 合并成 $B_{3}$ ，如果对于 $B_{i}$ ，如果两个堆只有一个堆存在 $B_{i}$ ，则保留 $B_{i}$ ，如果两个堆都不存在 $B_{i}$ ，则不保留。

合并操作的伪代码如下：

def merge(A,B)  //first 指针指向二项堆中最左侧的二项树
{
C=NULL
for(int i=0;i<A.degree()||i<B.degree();i++) //度数从小到大进行合并
    {
    if(tree(A,i)!=NULL)
         C.add(tree(A.i)) //将二项堆A中度为i的二项树加入新堆。
    if(tree(B,i)!=NULL) 
         C.add(tree(B.i)) 
    }
consolidation(C)
return C
}
def consolidation(C)
{
while(C exists the same degree tree) //存在度相同的二项树
{
for(int i=0;i<C.degree();i++) 
    {
    if(degree(x)==degree(y)) //两颗二项树度相同
        {
         if x.key<y.key
                swap(x,y) 
           make y leftchild of x //将其中一颗作为另一颗的左子树
           increase x.degree           
    }
}
}

二项堆的合并与每个二项堆的长度成正比，而长度不大于 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$ +1，所以合并节点数为n和m的二项堆的时间复杂度为 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$ +1+ $\left \lfloor log(m) \right \rfloor$ +1= $O(log(n)+log(m))$

2.1.2 插入操作

插入一个元素，将一个元素视为具有一个元素的二项树（ $B_{0}$ ），然后看作具有一个元素的二项堆与原有堆的合并，其伪代码如下：

def insert(A,x){   //在堆A插入节点x
B=MakeintoHeap(x)
return marge(A,B)
}

而合并的时间复杂度为 $O(log(n)+log(m))$ ，一个节点的二项堆的度为0，所以插入操作的复杂度为 $O(log(n))$

2.1.3二项堆的构建

（1）二项堆的构建如本章开始部分的话，则是逐个插入法，其伪代码如下：

def create(queue q)
{
T=NULL
while(q!=null)
    {
    x=q.pop()
    insert(x,T)
    }
return T
}

用上述方法，其构建复杂度为 $lg1+lg2+...+lg(n-1)$ ，而根据stirling公式 $lgn!\doteq eq \frac{lg2\pi n}{2}+nlg\frac{n}{e}$ ，所以构建复杂度为 $O(nlg(n))$ 。

因为二项堆是可合并堆，可以采用合并法建堆。合并法的步骤是度数从0开始，按照顺序将度数相同的二项树两两合并，直至队列中不存在度数相同的二项树为止(此时队列中每个元素视为一颗二项树)。其实现过程如下：

合并法建堆的伪代码如下：

def create(list q)
{
for(int i=0;i<log(q.length);i++)  //度从0开始
{
if(x.degree==i)//找到第一个度为i的节点
    {
    for(y=x->next,y!=NULL;y=y->next)
        {
        if(y.degree==i)
            {
                merge(x,y)//找到度相同的两个节点，进行合并
                x=y->next
                break;
            }
        }
    }
}
return q
}

合并法建堆的时间复杂度如下。首先是对只有1节点（度为0）的队列进行合并 $\frac{n}{2}$ 次，其次对2个节点（度为1）的左偏树进行合并 $\frac{n}{4}$ 次，再次是4个节点（度为2）的左偏树进行合并 $\frac{n}{8}$ 次，... $2^{i-1}$ 个节点的左偏树合并 $\frac{n}{2^{i}}$ 次,...最后对 $\frac{n}{2}$ 、 $n-\frac{n}{2}$ 个节点( $\frac{n}{2}$ 在 $2^{k-1}$ 与 $2^{k}$ 两个整数之间取绝对值差值最小的，若n=7, $\frac{n}{2}$ 为4；n=11, $\frac{n}{2}$ 为4)的左偏树进行合并1次，所以总的复杂度为

$\frac{n}{2}\times O(1)+\frac{n}{4}\times O(2)+\frac{n}{8}\times O(4)+...\frac{n}{2^{i}}\times O(2^{i-1})+...1\times O(\frac{n}{2})=O(\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{2^{i}}\times 2^{i-1})=O(n)$

2.1.4.删除最小值操作

删除最小值操作，即从二项堆中每个二项树的根节点中找到最小节点，然后删除最小节点，被删除根节点的二项树与其余的二项树执行“合并”过程，其位代码如下：

def extractMin(C)
{
find min in the root list
add min->left to the root List;
add min->right to the root List;
del min;
consolidation(C)
}

在根结点链表中，查找最小值最坏情况下为二相堆的长度，而长度不超过 $\left \lfloor log(n) \right \rfloor$ +1，所以删除最小值的复杂度为 $O(log(n))$

2.1.5 删除任意值操作

删除任意值指的是删除二项堆上已存在的值。删除任意值的步骤如下，首先找到这个任意值，设这个任意值所在的二项树称为T ，将此“任意值”和所在二项树T的根结点进行交换(即将要删除的节点“向上调整”至根节点)，交换的过程要保持堆性质，交换完毕后，将新树T的左右子树改至根结点链表上，然后将更换完毕后新二项的根节点删除，剩下的部分执行“合并”，合并完后算法结束。删除任意值的操作过程下。

删除任意值操作的伪代码如下：

def delany(T，x)
{
while(x.parent!=NULL)
{
swap(x,x.parent)
x=x.parent
}
del x
 return consolidation(x.child,others)
}

删除任意值的时间复杂度如下。向上调整的复杂度不超过 $O(log(n))$ ，合并其左右子树和剩余二项树的复杂度不超过 $O(log(n))$ ，所以删除任意值的操作复杂度为 $O(log(n))$ 。删除任意值操作还可以划分为两种操作的集合，请参考复习题。

2.1.6 减小值的操作

减小值的操作类似于堆的操作，减小后要进行“向上调整”或“向下调整”以满足堆性质。其复杂度向上调整的复杂度不超过 $O(log(n))$

3总结

二项堆是一种可高效合并的堆，其它操作均可以建立在“合并”操作的基础上。其常见操作的复杂度见下表。

二项堆操作	合并	插入	构建	删除最小值	删除任意值	减小值
复杂度	$O(log(n)+log(m))$	$O(log(n))$	$O(n)$	$O(log(n))$	$O(log(n))$	$O(log(n))$

4 复习题

（1）请解释二项堆和二项树的区别和联系

（2）在2.1.5中说到删除任意值的操作可以分为两个操作的集合，哪两个？（答：减小值和删除最小值。先将要删除的值减小为 $-\infty$ ，然后执行删除最小值操作）

参考资料：

1 Handbook of Data Structures and Applications.Dinesh P.Mehta and Sartaj Sahni.2005

标签：Binominal,删除,复杂度,合并,如下,Heap,节点,二项
来源： https://blog.csdn.net/robator/article/details/113185930