原根
作者:互联网
阶
群中, 一个元素 a 的阶是使得 ad = ε 的最小正整数 d, ε 是这个群的单位元。
一个元素 a 的阶被记为 ord(a) 或 |a|。
在模 p 剩余系内, 记 ordp(a) 表示 mod p 意义下 a 的阶。(显然只有与 p 互质的 a 才可能有有限阶)
原根
若在模 m 剩余系内, ordm(a) = φ(m), 则称 a 是 mod m 意义下的原根。
原根的存在性
当且仅当 m = 1,2,4,pk,2pk 时 mod m 剩余系内有原根, 其中 p 是奇素数, k 是任意正整数。
如果 p 是一个奇素数且模 p 剩余系内有原根 g, 那么 g 或者 g+p 是模 p2 剩余系的一个原根。
如果 r 是模 p2 剩余系的原根, 它也是模 pk 剩余系的原根。
计算原根
考虑枚举满足 a ⊥ m 的 a。 然后枚举 φ(m) 的质因子 p, 判断是否 aφ(m)/p ≡ 1 (mod m), 如果对于所有 p, 该等式都不成立, 那么 a 就是原根。
显然是成立的,证明用到的理论仅限于约数倍数,再此略去。
标签:剩余,p2,原根,系内,pk,mod 来源: https://www.cnblogs.com/tztqwq/p/14414364.html