其他分享
首页 > 其他分享> > 线性代数应该这样学9:上三角矩阵、对角矩阵

线性代数应该这样学9:上三角矩阵、对角矩阵

作者:互联网

在本系列中,我的个人见解将使用斜体标注。由于时间关系,移除了例题部分,可参考答案链接,如有疑问,可在评论区处留言。由于文章是我独自整理的,缺乏审阅,难免出现错误,如有发现欢迎在评论区中指正。

目录

Part 1:上三角矩阵

本节含有许多实用性的结果,并且证明手段往往不唯一,应当认真体会一下不同证明方法之间的异同

本征值的存在性 有限维非零复向量空间上,每个算子均有本征值。

注意,这里并没有涉及本征值的个数,也不涉及重特征值问题

设\(\dim V=n>0\),\(T\in\mathcal L(V)\)。取\(v\in V\)且\(v\ne 0\),\(n+1\)个向量\(v,Tv,\cdots,T^nv\)线性相关,故存在不全为0的实数\(a_0,a_1,\cdots,a_n\),使得

\[0=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_nT^nv. \]

如果\(a_1=\cdots=a_n=0\),则由于\(v\ne 0\)必有\(a_0=0\),这与线性相关矛盾。令

\[p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n, \]

由上面的分析,它不是一个常值多项式,故存在\(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in\mathbb{C}\),使得

\[p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n=c(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m) \]

所以

\[0=p(T)v=c(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)v \]

至少存在一个\(j\),使得\(T-\lambda_jI\)不可逆(否则容易得出\(v=0\)),故找到了\(T\)的一个本征值\(\lambda_j\)。

习题16、17分别利用线性映射证明本征值的存在性,下面给出证明。

对于\(T\in\mathcal L(V)\),构造线性映射\(f\in\mathcal L(\mathcal P_n(\mathbb{C}),V)\),其中\(\forall p\in\mathcal P_n(\mathbb{C})\),有

\[f(p)=p(T)v\in V. \]

由于\(\dim\mathcal P_n(\mathbb{C})=n+1>n=\dim V\),所以\(f\)不是单射,存在\(p\ne 0\)使得

\[p(T)v=0. \]

显然\(p(z)\)不能是非零常数,由代数基本定理,可以分解为

\[c(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)=0, \]

所以存在一个\(\lambda_j\)是\(T\)的特征值。


对于\(T\in\mathcal L(V)\),构造线性映射\(g\in\mathcal L(P_{n^2}(\mathbb{C}),\mathcal L(V))\),其中\(\forall p\in\mathcal P_{n^2}(\mathbb{C})\),有

\[g(p)=p(T), \]

由于\(\dim\mathcal P_{n^2}(C)=n^2+1>n^2=\dim\mathcal L(V)\),所以\(g\)不是单射,存在\(p\ne 0\)使得

\[p(T)=0 \]

显然\(p(z)\)不能使非零常数,故依旧有如上的分解。

算子的矩阵(matrix of an operator) 设\(T\in\mathcal L(V)\),并设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基,\(T\)关于该基的矩阵定义为\(\mathcal M(T)=(A_{i,k})_{n\times n}\),其元素定义为

\[Tv_k=A_{1,k}v_1+\cdots+A_{n,k}v_k. \]

在讨论线性映射的矩阵时,为\(V,W\)都找了一组基;而进入到算子的矩阵,由于线性空间只有一个,所以只使用\(V\)的一组基,并且一般使用标准基

矩阵的对角线(diagonal of a matrix) 方阵的对角线由位于左上角到右下角的直线上的元素组成。

上三角矩阵(upper-triangular matrix) 如果位于方阵对角线下方的元素都是0,则这个方阵称为上三角矩阵。

上三角矩阵与不变子空间之间存在联系,若\(T\in\mathcal L(V)\),且\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基,则以下三个说法等价:

  1. \(T\)关于\(v_1,\cdots,v_n\)的矩阵\(\mathcal M(T)\)是上三角的。
  2. \(\forall j=1,\cdots,n\),\(Tv_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j)\)。
  3. \(\forall j=1,\cdots,n\),\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j)\)是\(T\)下的不变子空间。

上三角矩阵的存在性 在\(V(\mathbb{C})\)上,每个算子\(T\in\mathcal L(V)\)均有上三角矩阵。

这个定理的实用之处在于,将特征值关联到了线性映射上。并且,书上给出的两个证明,一个基于限制算子,一个基于商算子,由于商算子我们平时不常用,因此更应该注意商算子的用法

限制算子:使用数学归纳法,若\(\dim V=1\),则结论显然成立。

现设\(\dim V>1\),且对于所有维数比\(V\)小的复向量空间都成立这样的结论。设\(\lambda\)是\(T\)的任意本征值,\(U=\mathrm{range}(T-\lambda I)\),则由于\(T-\lambda I\)不是满射,有\(\dim U<\dim V\)。下证明\(U\)是\(T\)下的不变子空间,\(\forall u\in U\),有

\[Tu=(T-\lambda I+\lambda I)u=(T-\lambda I)u+\lambda u\in U. \]

故\(T|_U\)是\(U\)上的算子,由归纳假设,\(U\)有基\(u_1,\cdots,u_m\)使得\(T|_U\)关于这个基有上三角矩阵,因此对每个\(j=1,\cdots,m\)都有

\[Tu_j=T|_U (u_j)\in\mathrm{span}(u_1,\cdots,u_j). \]

将\(u_1,\cdots,u_m\)扩充成\(V\)的基\(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n\),对每个\(k\),都有

\[Tv_k=(T-\lambda I)v_k+\lambda v_k, \]

由于\((T-\lambda I)v_k\in U\),\(\lambda v_k\in\mathrm{span}(v_k)\subset\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_k)\),所以

\[Tv_k\in\mathrm{span}(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_k), \]

故\(T\)关于基\(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n\)有上三角矩阵。


商算子:使用数学归纳法,若\(\dim V=1\),则结论显然成立。

现设\(\dim V=n>1\),并设对于所有\(n-1\)维复向量空间都成立这样的结论。设\(v_1\)是\(T\)的任意一个本征向量,\(U=\mathrm{span}(v_1)\),则\(U\)是\(T\)下的不变子空间,且\(\dim U=1\),故\(\dim V/U=n-1\)。

对\(V/U\),由归纳假设,存在一组基\(v_2+U,\cdots,v_n+U\),使得\(T/U\)关于该基有上三角矩阵,即\(\forall j=2,\cdots,v_n\)有

\[(T/U)(v_j+U)\in\mathrm{span}(v_2+U,\cdots,v_j+U), \]

\[Tv_j+U=a_2v_2+\cdots+a_jv_j+U, \]

所以

\[Tv_j-(a_2v_2+\cdots+a_jv_j)=a_1v_1, \]

\[Tv_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j). \]

这就证明\(T\)关于\(v_1,\cdots,v_n\)这组基(这一组确实是基)存在上三角矩阵。

上三角矩阵与可逆性 若\(T\in\mathcal L(V)\)关于\(V\)的某个基有上三角矩阵,则\(T\)是可逆的当且仅当这个上三角矩阵对角线上的元素都不是0。

这是一个基础定理,由此可以很容易得到其他推论

设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基,\(T\)关于这组基存在上三角矩阵:

\[\mathcal M(T)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & * \\ \vdots & \lambda _2 & & \\ 0 & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}. \]

先证充分性。上面的矩阵表明\(Tv_1=\lambda_1v_1\),由于\(\lambda_1\ne 0\),所以\(T(v_1/\lambda_1)=v_1\),即\(v_1\in\mathrm{range}T\)。从而

\[T(v_2/\lambda_2)=a_1v_1+v_2,\quad v_2\in\mathrm{range}T,\\ T(v_3/\lambda_3)=b_1v_1+b_2v_2+v_3,\quad v_3\in\mathrm{range}T,\\ \vdots \]

以此类推,\(v_1,\cdots,v_n\in\mathrm{range}T\),故\(T\)是满的,等价于\(T\)是可逆的。

再证必要性。\(T\)是可逆的故\(\mathrm{null}T=\{0\}\),所以\(Tv_1=\lambda_1v_1\ne 0\),\(\lambda_1\ne 0\)。如果存在某个\(\lambda_j=0\),且\(\forall k<j\)都有\(\lambda_k\ne 0\),则

\[Tv_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1}), \]

同时\(T\)将\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j})\)映射到\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)上,即\(T\)在子空间\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)上不是单射,存在某个\(v\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j)\)使得\(v\ne 0\)且\(Tv=0\),这与\(T\)的可逆性矛盾。

上三角矩阵的特征值 设\(T\in\mathcal L(V)\)关于\(V\)的某个基有上三角矩阵,则\(T\)的本征值恰为这个上三角矩阵对角线上的元素。

设\(\lambda \in\mathbb{F}\),则

\[\mathcal M(T-\lambda I)=\begin{pmatrix} \lambda_1-\lambda & & & * \\ \vdots & \lambda _2-\lambda & & \\ 0 & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n-\lambda \end{pmatrix}. \]

为使得\(T-\lambda I\)可逆,必有\(\lambda\)等于\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)中的某一个,即\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)是\(T\)的全部特征值。

Part 2:对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix) 对角矩阵是对角线以外的元素全是0的方阵。

本征空间(eigenspace) 设\(T\in\mathcal L(V)\)且\(\lambda \in \mathbb{F}\),则\(T\)相应于\(\lambda\)的本征空间定义为

\[E(\lambda,T)=\mathrm{null}(T-\lambda I). \]

本征空间的和是直和 设\(V\)是有限维的,\(T\in\mathcal L(V)\),且\(\lambda_1\cdots,\lambda_m\)是\(T\)的互异本征值,则

\[E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T) \]

是直和,且

\[\dim E(\lambda_1,T)+\cdots+\dim E(\lambda_m,T)\le \dim V. \]

这说明,不同本征空间是互不相交的(除了\(0\))。这里用的是小于等于号,说明\(V\)中并非所有向量都是特征向量

假设\(u_j\in E(\lambda_j,T)\),且\(u_1+\cdots+u_m=0\)。由于相应于不同本征值的本征向量线性无关,所以\(u_j=0,\forall j\),这说明

\[E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T) \]

是直和,自然成立下方的不等式。

可对角化(diagonalizable) 如果算子\(T\)关于\(V\)的某个基有对角矩阵,则\(T\)是可对角化的。

可对角化的算子具有很简洁的表达形式,如果要计算\(Tv\),只要将\(v\)关于对角基分解即可

以下说法等价:

以上五点,\(1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3\)和\(4\Leftrightarrow 5\)都是显然的,下证\(2\Leftrightarrow 4\)。

先证\(2\Rightarrow 4\),若\(V\)有\(T\)的本征向量构成的基,则显然

\[V=E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T). \]

又因为不同本征值对应的本征空间是直和,所以

\[V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T). \]

最后证\(4\Rightarrow 2\),在每个\(E(\lambda_j,T)\)内取一组基,将其合在一起就得到\(V\)的本征向量构成的基。

本征值足够多则可对角化 若\(T\in\mathcal L(V)\)有\(\dim V\)个互异的本征值,则\(T\)可对角化。

设\(\dim V=n\),\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)是\(T\)的\(n\)个互异本征值,对应的本征向量为\(v_j\),则这些\(v_j\)是线性无关的,由于长度为\(n\)的线性无关组是\(V\)的基,所以\(v_1,\cdots,v_j\)是\(V\)的一组基,故\(T\)可对角化。

事实上,由于不同本征空间都是\(T\)下的不变子空间,所以将不同本征空间的基组成整个\(V\)上的一组线性无关向量,对应的矩阵是一个对角子矩阵;进而将这个向量组扩充成一组基

标签:dim,mathrm,矩阵,cdots,线性代数,mathcal,对角,lambda
来源: https://www.cnblogs.com/jy333/p/14407241.html