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可惜你只对了一半。这篇文章不是给萌新看的，但是萌新也能轻松看懂。

问题描述

求斐波那契数列的第 n n n 项。

题1

限制: 1 ≤ n ≤ 1 0 8 1 \le n \le 10^8 1≤n≤108
解法: 很好，直接暴力递推就行了。

题2

限制: 1 ≤ n ≤ 1 0 18 1 \le n \le 10^{18} 1≤n≤1018，要对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 取模。
解法: 很好，直接矩阵快速幂就行了。

题3

限制: 1 ≤ n ≤ 1 0 30000000 1 \le n \le 10^{30000000} 1≤n≤1030000000，模数为 1 0 8 − 5 10^8-5 108−5 。
解法
考虑斐波那契数列的通项为
F n = 1 5 ( ( 1 + 5 ) n 2 − ( 1 − 5 ) n 2 ) F_n=\frac {1} {\sqrt 5}(\frac {(1+\sqrt 5)^n} {2}-\frac {(1-\sqrt 5)^n} {2}) Fn​=5 ​1​(2(1+5 ​)n​−2(1−5 ​)n​)

由于 5 \sqrt 5 5 ​ 在模 1 0 8 − 5 10^8-5 108−5 意义下的值为 1 0 4 10^4 104 ，所以直接把 1 0 4 10^4 104 带进去算就行了。

时间复杂度 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn) ，去掉了快速幂的那个 8 8 8 的常数。

题4

限制: 1 ≤ n ≤ 1 0 40000000 1 \le n \le 10^{40000000} 1≤n≤1040000000，模数为 m ( 1 ≤ m ≤ 2 31 − 1 ) m(1 \le m \le 2^{31}-1) m(1≤m≤231−1) 。

解法2

Lemma

斐波那契数列在模意义下是有循环节的，循环节长度不超过模数的 6 6 6 倍。并且只有当 m = 2 × 5 p m=2 \times 5^p m=2×5p 的时候才取到等号。

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由于循环节的长度并不大， 我们可以考虑一个随机化算法，

我们每次在区间 [ 1 , 18 × m o d ] [1,18 \times mod] [1,18×mod] 中等概率挑出一个之前从来没有被选择过的数 i i i ，并用矩阵快速幂求出 F i , F i + 1 F_i,F_{i+1} Fi​,Fi+1​ 在模意义下的值，再将 ( i , F i , F i + 1 ) (i,F_i,F_{i+1}) (i,Fi​,Fi+1​) 这个三元组存在一个哈希表中。如果产生了 ⌊ \lfloor ⌊ 哈希冲突 ⌉ \rceil ⌉，那么立即退出，并宣布已经找到一个循环节。

找到循环节之后就可以将 n n n 对循环节长度取模，从而大大减小了 n n n ，于是就可以愉快地矩阵快速幂啦。

根据生日悖论，期望在 m \sqrt m m ​ 次找到循环节。于是时间复杂度为 O ( m log ⁡ m ) O(\sqrt m \log m) O(m ​logm)

可以通过。

标签：10,le,log,18,sqrt,求斐波,那契,详解
来源： https://blog.csdn.net/Cherrt/article/details/113795190