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群论第五章转动群(2)老师说伴随表示要求学会

作者:互联网

第章

第章
1.3节 SU(2)群的不等价不可约表示
1.欧拉角 见北大群论书+此笔记。此笔记中有些内容北大群论书没有。但北大群论书也写得好,必须学
1)
2) SO(3) 群的元素 R(α,β,γ)
3)欧拉角的两种含义:
4)欧拉角参数化和ωθϕ参数化之间的关系:
2.SU(2)群的不可约表示
下面求2个重要的表示矩阵:
a.绕 x3 轴转动 ω 角元素的表示矩阵
b.绕 x2 轴转动 ω 角元素的表示矩阵
SU(2)群的不可约表示及其性质
性质:
3.SO(3)群的不可约表示
4.O(3)群的不可约表示
1.4节 李氏定理
4.伴随表示
1)伴随表示的生成元
2)求伴随表示
3)微量微分算符
a.重要公式
b.这个公式在物理上的应用:
1.5节 SU(2)群直乘表示的约化 没时间,和CG系数有关,以后需要的时候再学吧
1.7节 物理应用
1.球谐函数ψml(x):是荷载这个SO(3) 群不可约表示 Dl的基TOC

1.3节 SU(2)群的不等价不可约表示

此节内容见北大群论书+此笔记。此笔记中有些内容北大群论书没有。但北大群论书也写得好,必须学

1.欧拉角 见北大群论书+此笔记。此笔记中有些内容北大群论书没有。但北大群论书也写得好,必须学

1)

缺点:群空间恒元的邻域内,参数与群元素多一对应
应用:常用于实际计算,计算时求欧拉角的方法:见作业题

2) SO(3) 群的元素 R(α,β,γ)

根据北大群论书196至198页求出 SO(3) 群的元素 R(α,β,γ)的过程,得到

(60)

这个参数范围与北大群论书不同。以北大群论书为准。

  • 根据北大群论书196页图5和(60)知道,当 β=0,R(α,0,γ) 是绕 e3 轴转动 α+γ 角的变换 , α+γ相同的操作对应的是同一个SO(3)群中的元素,αγ 中只有一个是独立的 在恒元附近(根据(6)知道,当α+γ很小时,对应的R是恒元附近的一个R), 欧拉角参数与群元素是多一对应的
    β=π 邻近也有类似的多一对应关系(只能确定 αγ), 这是欧拉角参数的缺点
    北大书说,在一些特殊情况下,多种欧拉角的组合对应同一个转动,不过我们写成SO(3)群矩阵表示(60)时,这种多种组合的表示又会归一到同一个矩阵表示。
3)欧拉角的两种含义:

三维转动变换R可分解为绕定坐标系的坐标轴的三个转动的乘积(一个矢量先绕定坐标轴z轴转γ,再绕定坐标轴y轴转β,最后绕定坐标轴z轴转α),也可分解为绕动坐标系的坐标轴的三个转动的乘积(见北大群论书),二者乘积次序正好相反(背):

这个分解的原因见北大群论198页R的表达式的上一行。

4)欧拉角参数化和ωθϕ参数化之间的关系:



C语言中arctan是有两个参数的。才能确定值。
下面会讲,SU(2)群的自身表示就是SU(2)群的表示。

2.SU(2)群的不可约表示

以前第二章讲的CnDnTI等其实都是SO(3)的子群,CnDnTI等的表示我们已经在第三章清楚了。

根据此基的表达式可以知道,这是ξ,η2j 次齐次函数,即n=2j
j和ν的物理意义见北大群论204页。写得好。而这个ppt没写。
j的意义:j标记一个表示空间,一个j对应一个表示空间,它是一个函数空间。也即一个j对应一个表示。
ν的意义:对一个特定的j,即对一个表示空间,有不同的基,这些基用ν来标记,根据上面的公式知道,一共有2j+1个基,即2j+1维的函数空间。(n+1维的函数空间)

下面求2个重要的表示矩阵:
a.绕 x3 轴转动 ω 角元素的表示矩阵





这就得到了表示矩阵的矩阵元:

从此可以知道,表示矩阵是对角的。

原因见北大群论书205页

b.绕 x2 轴转动 ω 角元素的表示矩阵





这就得到了这个元素对应的表示矩阵的矩阵元:(具体表达式和参数n的范围见北大群论书,ppt没有说清楚)
这里的其实就是高量中角动量理论中的d矩阵。注意这个矩阵是实正交矩阵。

得到的过程见北大群论206、207页。


注意这里,行、列指标μνj,j1,,(j1),j 的次序排列,例如

SU(2)群的不可约表示及其性质

完整的一个SU(2)群中的元素u所对应的表示空间Lj中的表示矩阵的矩阵元为:(背)
(65)

证明见北大群论书,写得更好

性质:

根据北大群论205至207页就可以理解三个生成元确实是这样求出来。我理解了。

以前讲SO(3)与SU(2)的同态关系SU(2)的参数也取为SO(3)的n^ω.

3.SO(3)群的不可约表示

4.O(3)群的不可约表示

没时间。

1.4节 李氏定理

4.伴随表示

1)伴随表示的生成元

之前讲过,g维伴随表示描写生成元在共轭变换中的变换性质:

其中
取R为无穷小元素,有:
根据前面所讲的无穷小元素的表示矩阵
知道,

注意右边的是因为是无穷小元素的矩阵元而不是矩阵。

得:[Il,Ij]=kIk(Ilad)kj
又根据李氏第二定理得:[Il,Ij]=ikCljkIk
根据以上两个公式,得:
其中是伴随表示的生成元。说明伴随表示的生成元是由李群的结构常数来决定的
容易证明,这组生成元满足:.

2)求伴随表示
3)微量微分算符
a.重要公式

以前说过,SO(3)群的微量微分算符是轨道角动量算符,根据前面说的微量微分算符的共轭变换:

知道,

因为对SO(3)、SU(2)群来说,其伴随表示就是自身表示\Rkj.

在上面公式中取一个特殊的R:R=R(ϕ,θ,0)=S(ϕ,θ) , 则 Rk3 是单位矢量 n^(θ,ϕ) 的分量。

原因:R=R(ϕ,θ,0)=S(ϕ,θ)中的R的三个参数是欧拉角,看成绕定坐标轴的转动,根据知道,R(ϕ,θ,0)是先绕y方向转θ,再绕z方向转ϕ

故这特殊的R就是前面介绍SO(3)群时说过的将 x3 轴上的点转到 n^(θ,ϕ) 方向的变换 S(ϕ,θ).

取j=3,得到:
(背)(72)
其中R是将x3 轴上的点转到 n^(θ,ϕ) 方向的变换 S(ϕ,θ).

证明:

b.这个公式在物理上的应用:

ψml(x) 是属 SO(3) 群不可约表示 Dlm 列的函数(即ψml(x)是荷载这个SO(3) 群不可约表示 Dl的基,比如后面说了球谐函数就是属 SO(3) 群不可约表示 Dlm 列的函数),则:

证明:

我觉得这里的l其实相当于前面不可约表示一节中的j:

因为L3是微量微分算符,是算符,故根据上面公式和(老师说应该是根据
的过程来求出微量微分算符L3的矩阵形式,即此微量微分算符在所给定的这个表示中的生成元,推导过程估计复杂,老师没讲推导),得:

同理可以知道L1L2L3作用于基上的公式,再根据L2=L12+L22+L32可以得到:

根据以上,有:

又根据可以知道

PRψml(x)L2Ln^(θ,ϕ) 的共同本征函数,本征值分别为 l(l+1)m .
注意前提条件:其中R是将x3 轴上的点转到 n^(θ,ϕ) 方向的变换 S(ϕ,θ).
例如若将n^(θ,ϕ)取为x轴,则Pxψml(x)L2Lx 的共同本征函数.
共同本征函数PRψml(x)的求法是:根据前面SO(3)的不可约表示一节的知识可以求出表示矩阵元,再根据就可以求出共同本征函数。

1.5节 SU(2)群直乘表示的约化 没时间,和CG系数有关,以后需要的时候再学吧

1.7节 物理应用

1.球谐函数ψml(x)是荷载这个SO(3) 群不可约表示 Dl的基

球对称系统的对称变换群是SO(3)群,所谓的系统具有SO(3)对称性就是指系统的哈密顿量H(x)在转动变换中保持不变。对无自旋系统,

不变,就说明变换后还等于H(x)

设能级 En 重简并的,有 n 个线性无关的本征函数 ψμ(x) , 它们荷载 SO(3) 群的表示

其中PR是SO(3) 群中元素R对应的算符,故知,Dvμ(R)就是SO(3)群的表示的矩阵元。

以上公式的原因:第三章中:

此表示通常是可约的,将其按 SO(3) 群的不可约表示约化

(1)X1D(R)X=θlalDl(R)χ(R)=lalχl(R)al=2π0πsin2ω2χl(ω)χ(ω)dω

以上就是荷载不可约表示的基

这是因为这个基荷载不可约表示,见第三章。

类似伴随表示一节的方法,可以得到:

即:SO(3) 群不可约表示 Dlm 列的函数,是 L2L3 的共同本征函数
(以上的过程是从群论的角度求共同本征函数的方法)



径向函数在转动变换中不变,故角度函数 Yml(θ,ϕ) 是属 SO(3) 群不可约表示 Dlm 列的函数(即ψml(x)是荷载这个SO(3) 群不可约表示 Dl的基) , 是 L2L3 的共同本征函数, 称为球谐函数(背)

后面还有标量场、矢量场、旋量场、球谐函数、总角动量算符、不可约张量算符、Wigner- Eckart定理等没听。总角动量算符和旋量场这一节可能很重要,和自旋轨道耦合有关。



来自为知笔记(Wiz)

标签:表示,可约表示,矩阵,转动,第五章,SO,SU,群论
来源: https://www.cnblogs.com/quantum-condensed-matter-physics/p/14299854.html