其他分享
首页 > 其他分享> > 群论第二章(2)

群论第二章(2)

作者:互联网

第二章(2)

第二章(2)
1.5节 群的直乘和非固有点群 5.点群的Schönflies 分类及其之后的内容不考
1.群的直接乘积
直乘群:
a.定义
b.直乘群的例子:
c.直乘群的性质:
2.非固有点群
1)定义
2)非固有点群的性质
a.非固有点群G所包含的所有固有转动元素形成的集合H是群G的子群。
b.非固有点群G中所有的非固有转动元素只能属于子群H的同一个陪集,不可能有两个陪集。因此,子群H的指数为2,故它是非固有点群G的不变子群。
c.非固有点群分为两类:
d.由一个固有点群G得到非固有点群G的方法(背):
3.I型非固有点群的种类
4.P型非固有点群的种类
5.点群的Schönflies 分类
1)在与转动轴k垂直的平面上的反射σk等于绕k轴转180度(用Ck(π)表示)再反演i,即σk=iCk(π)
2)像转轴(转动反射轴):
3)记号
4)I 型非固有点群的Schönflies 分类:
5)P型非固有点群的Schönflies 分类:TOC

1.5节 群的直乘和非固有点群 5.点群的Schönflies 分类及其之后的内容不考

1.群的直接乘积

直乘群:
a.定义

设H1 和H2 是 群G 的两个子群

满足三个条件

(1) 除 恒 元R1=S1=E外 ,子 群H1H2无 公 共元素

(2) 分 属 两子群的元素乘积可对易, 即 若 RiH1,SjH2, 则 RiSj=SjRi

(3)群G的所有元素都可以写成这两个子群元素相乘的形式,也即群G 是所有形 如RiSj的元素构成的集合{RiSj}

注意“所有”两个字,这是封闭性的要求。

则群G称为H1H2直乘群 , 记作

b.直乘群的例子:



c.直乘群的性质:

2.非固有点群

1)定义

非固有点群既包含非固有转动元素,也包含固有转动元素。
非固有转动变换可以看作是固有转动变换和空间反演i的乘积,而i可以与任何转动变换对易,且其平方为恒元,因此,两个非固有转动元素的乘积是固有转动元素,非固有转动元素和固有转动元素的乘积是非固有转动元素。

i可以与任何转动变换对易:比如先转90再反演和先反演再转90得到的结果一样。

2)非固有点群的性质
a.非固有点群G所包含的所有固有转动元素形成的集合H是群G的子群

恒元、结合律、逆元都满足,再判断封闭性:两个固有转动相乘也是一个固有转动,所以封闭性满足。

b.非固有点群G中所有的非固有转动元素只能属于子群H的同一个陪集,不可能有两个陪集。因此,子群H的指数为2,故它是非固有点群G的不变子群

不可能有两个陪集的证明:反证法:

而子群、陪集元素个数都相同,在G中有2h个非固有元素,h个固有元素,而AG中有2h个固有元素,h个非固有元素,故其实不等于G,这与重排定理矛盾,故得证。
另一种证明方法:

c.非固有点群分为两类:

I型非固有点群:包含空间反演i的非固有点群G

P型非固有点群:不包含空间反演i的非固有点群G

d.由一个固有点群G得到非固有点群G的方法(背):

构成I型非固有点群G:将固有点群G直乘V2=E,i构成I型非固有点群G。(背)
构成P型非固有点群G:若此固有点群G包含指数为2的不变子群H,则将固有点群G的所有陪集元素乘i,再和H的元素一起构成P型非固有点群G(背)(并且这样得到的非固有点群G一定和之前的固有点群G同构。)
将所有可能的固有点群写出来,看哪些固有点群包含有指数为2的不变子群,再由上面的方法即得到所有的P型非固有点群。

但老师没有证明有没有别的方法可以得到P型非固有点群。没时间。

3.I型非固有点群的种类

后面4个老师没解释

4.P型非固有点群的种类


约等号表示P型非固有点群和之前的固有点群同构。

5.点群的Schönflies 分类

研究晶体或分子对称性时,常用Schönflies分类方法。(其实只是一种表示,和之前的内容一样,只是取了新的名字)

1)在与转动轴k垂直的平面上的反射σk等于绕k轴转180度(用Ck(π)表示)再反演i,即σk=iCk(π)

证明:在三维坐标系中确实。

2)像转轴(转动反射轴):


像转轴(转动反射轴)的物理意义:
绕k轴转2πn再反射
或绕k轴转2πn,再转π,再空间反演

3)记号
4)I 型非固有点群的Schönflies 分类:
5)P型非固有点群的Schönflies 分类:


来自为知笔记(Wiz)

标签:固有,元素,水平面,点群,转动,群论,子群,第二章
来源: https://www.cnblogs.com/quantum-condensed-matter-physics/p/14288483.html