组合数学基本定理
作者：互联网
加法原理
完成一件工作有 n n n类方法，第 i i i种方法有 m i m_i mi种不同的方法，完成这件工作共有 n = ∑ i = 1 n m i n= \sum_{i=1}^nm_i n=∑i=1nmi种方法。
乘法原理
完成一件工作共需 n n n个步骤，第 i i i个步骤有 m i m_i mi种方法，完成这件工作共需 ∏ i = 1 n m i \prod_{i=1}^nm_i ∏i=1nmi种方法。
抽屉原理
原理一
把 m ( m ≥ n + 1 ) m(m \geq n+1) m(m≥n+1)件物品放入 n n n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两种物品。
原理二
把 x ( x ≥ n ∗ m + 1 ) x(x \geq n*m+1) x(x≥n∗m+1)件物品放入 n n n个抽屉，至少有一个抽屉里有不少于两件物品。
原理三
把无穷物品放入 n n n个抽屉至少有一个抽屉里有无穷个物品。
例一
问题： 如何证明：从 1 1 1到 20 20 20这 20 20 20个数任取 11 11 11个数，必有两个数，其中一个数是另外一个数法倍数。
证明： 11 11 11个数是物品，抽屉应该按照“同一抽屉中任意两个数都具有倍数关系”的原则，那么最多可以分为十个抽屉： { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 } , { 3 , 6 , 12 } , { 5 , 10 , 20 } , { 7 , 14 } , { 9 , 18 } , { 11 } , { 13 } , { 15 } , { 17 } , { 19 } \{1,2,4,8,16\},\{3,6,12\},\{5,10,20\},\{7,14\},\{9,18\},\{11\},\{13\},\{15\},\{17\},\{19\} {1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。显然任取 11 11 11个数，一定满足必有两数是倍数关系。
扩展： 给出正整数 n n n，求出 1 − n 1-n 1−n中至少选择多少个数使得必存在两个数是倍数关系？按照上面的构造方式，答案是 ( n < < 1 ) + ( n & 1 ) + 1 (n<<1)+(n\&1)+1 (n<<1)+(n&1)+1。
例二
问题： 有一个 3 3 3行十列的表格，每个小方格可以涂上两种颜色，试证明无论怎样涂，至少两列法涂色方法相同。
证明： 每列有三格，显然有 2 3 = 8 2^3=8 23=8种涂法，这 8 8 8种涂法就相当于是抽屉， 10 10 10列相当于物品，由抽屉原理可知显然成立。
例三
问题： 对任意的五个数，证明其中必有三个数的和能被 3 3 3整除。
证明： 3 3 3的剩余系为 { 0 , 1 , 2 } \{0,1,2\} {0,1,2}为抽屉，五个数为物品，五个数分别对三取模，然后分类讨论：
- 若五个余数分布在其中的三个抽屉中，只需各取一个。
- 若五个余数分布在其中的两个抽屉中，其中必有一个抽屉至少包含三个数，那么这三个数的和也一定是三的倍数。
- 若五个余数分布在其中的 1 1 1个抽屉中，由上面知显然成立。
容斥定理
常见的问题，给出班上的总人数，有若干项活动。参与某项活动的参与人数 x i x_i xi，给出同时参与两项活动的人数 y i y_i yi，求三项都参与的人数 z z z，那么有 ∑ i = 1 n x i − ∑ i = 1 n + z = t o t \sum_{i=1}^nx_i - \sum_{i=1}^n +z = tot ∑i=1nxi−∑i=1n+z=tot。显然对于左边来看就是奇数次加上，偶数次减去。
例子
问题： 给出 n n n，求出 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]中不是 2 , 3 , 5 2,3,5 2,3,5的倍数的个数。
证明： ⌊ n 2 ⌋ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor ⌊2n⌋求出的是 n n n以内 2 2 2的倍数，同理 3 , 5 3,5 3,5，然后我们对三个集合求交集，减去两个数重复的部分，再加上三个数重复的部分。根据容斥定理，答案为： n − [ ( ⌊ n 2 ⌋ ) + ⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n 5 ⌋ ) − ( ⌊ n 6 ⌋ + ⌊ n 10 ⌋ + ⌊ n 15 ⌋ ) + ⌊ n 30 ⌋ ] n-[(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor) + \lfloor \frac{n}{3} \rfloor + \lfloor \frac{n}{5} \rfloor)- (\lfloor \frac{n}{6} \rfloor+\lfloor \frac{n}{10} \rfloor+\lfloor \frac{n}{15} \rfloor)+\lfloor \frac{n}{30} \rfloor] n−[(⌊2n⌋)+⌊3n⌋+⌊5n⌋)−(⌊6n⌋+⌊10n⌋+⌊15n⌋)+⌊30n⌋]
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