直方图均衡化

定义

当直方图中像素值集中在狭窄的灰度级范围内或分布极不均匀时，图像呈现较差的对比度。直方图均衡化的目的就是将直方图的灰度级概率分布变换为均匀分布。(如下图所。注意，p(x)是概率密度函数，P(x)是概率分布函数）

由于直方图中概率较小的灰度级合并为更少的几个或一个灰度级内，从而降低了图像的灰度级分辨率，且某些细节信息处于概率较小的灰度级中，这样的灰度级归并到其他灰度级内，从而造成图像细节信息的丢失。

 

公式

输入r，输出s
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k P ( r j ) = L − 1 M N ∑ j = 0 k n j , ( k = 0 , 1... L − 1 ) s=T(r)=(L-1)\sum_{j=0}^k{P(r_j)}=\frac{L-1}{MN}\sum_{j=0}^kn_j ,(k=0,1...L-1) s=T(r)=(L−1)j=0∑k​P(rj​)=MNL−1​j=0∑k​nj​,(k=0,1...L−1)

对于输入图像中每个具有r值的像素值产生一个输出灰度值s.

略微证明

先 定 义 两 个 函 数 s = T ( r ) , r = T − 1 ( s ) 。 两 个 互 为 反 函 数 先定义两个函数s=T(r),r=T^{-1}(s)。 两个互为反函数 先定义两个函数s=T(r),r=T−1(s)。两个互为反函数
接下来，F（x）是概率分布函数，P（x）概率分布。
F s ( s ) = P r ( S < s ) = P r ( T ( R ) < s ) = P r ( R < T − 1 ( s ) ) = P r ( R < r ) = F r ( r ) F_{s}(s)=P_{r}(S<s)=P_{r}(T(R)<s)=P_{r}(R<T^{-1}(s))=P_{r}(R<r)=F_{r}(r) Fs​(s)=Pr​(S<s)=Pr​(T(R)<s)=Pr​(R<T−1(s))=Pr​(R<r)=Fr​(r)

接下来对上式两边求导s（概率分布函数的导数是概率密度函数），可得如下
p s ( s ) = p r ( r ) d r d s p_{s}(s)=p_{r}(r)\frac{dr}{ds} ps​(s)=pr​(r)dsdr​
当直方图均衡化的变换函数T( r )是连续型随机变量R的概率分布函数Fr( r),也就是输入灰度级r的累计直方图时，可表示为
s = F r ( r ) = ∫ 0 r p r ( x ) d x , s=F_{r}(r)=\int_{0}^{r}p_r(x)dx, s=Fr​(r)=∫0r​pr​(x)dx,
对上面两边求导r，得到
d s d r = p r ( r ) \frac{ds}{dr}=p_{r}(r) drds​=pr​(r)

将这个式子带入当初求的哪个，得到
p s ( s ) = 1 p_{s}(s)=1 ps​(s)=1
这说明什么？？

当直方图均衡化的变换函数T( r)是连续型随机变量R的概率分布函数Fr( r),也就是输入灰度级r的累计直方图时，变换后的概率密度函数是均匀分布的！！！

所以
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k P ( r j ) = L − 1 M N ∑ j = 0 k n j , ( k = 0 , 1... L − 1 ) s=T(r)=(L-1)\sum_{j=0}^k{P(r_j)}=\frac{L-1}{MN}\sum_{j=0}^kn_j ,(k=0,1...L-1) s=T(r)=(L−1)j=0∑k​P(rj​)=MNL−1​j=0∑k​nj​,(k=0,1...L−1)

计算步骤

1. 计算 P ( r k ) = n k M N ( k = 0 , 1 ， 2 , 3... L − 1 ) P(r_k)=\frac{n_k}{MN}(k=0,1，2,3...L-1) P(rk​)=MNnk​​(k=0,1，2,3...L−1)
   其中nk是出现的次数。L是离散灰度级数
2. 计算 s k = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k P ( r j ) , ( K = 0 , 1 , . . . L − 1 ) 四 舍 五 入 为 整 数 s_k=(L-1)\sum_{j=0}^kP(r_j),(K=0,1,...L-1) 四舍五入为整数 sk​=(L−1)j=0∑k​P(rj​),(K=0,1,...L−1)四舍五入为整数
3. 确定 r k 与 s k 的 对 应 关 系 r_k与s_k的对应关系 rk​与sk​的对应关系
4. 确定概率分布
5. 

MATLAB实现

i=imread('d:\\cat.jpg');
i=rgb2gray(i);//rgb转化为灰度图
j=histeq(i);//灰度直方图均衡化
figure('name','contrast');
subplot(1,2,1);imshow(i);title('raw pic');
subplot(1,2,2);imshow(j);title('process pic');

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标签：...,函数,灰度级,概率分布,均衡化,直方图,灰度
来源： https://blog.csdn.net/m0_48342140/article/details/112331209