NOIP2020T3题解
作者：互联网
【解题思路】
1.40分做法
我们可以用2m次操作将两个球A,B交换，做法：记空柱子为C，假设A球上面的球的个数大于B的（否则交换AB），把A球的上面的球移动到空柱子C上，然后把B球上面的球移动到A上面，然后把A上面的球加上A球移动到B柱子）最后把空柱子C的球移动到A柱子。
我们把mn个球通过这种交换操作归位，时间复杂度O(nm^2)可以通过40%的数据。
2.70分做法
我们一个颜色一个颜色的处理，假如我们现在处理到颜色i，考虑一个柱子一个柱子的处理，假设颜色i的球是红球，不是颜色i的球是黑球，如果柱子A有红球（不一定在上面）我们可以通过如下操作使柱子A的红球全都移动到A柱子的上方：记辅助柱子为B，记空柱子为C，首先算一下柱子A有多少个红球，记为k个，把柱子B上方k个球移动到空柱子C上。对于A柱子，可以从顶部一个一个移动，如果是红球，移动到B柱子上，如果是黑球，移动到C上。这时候A空了，C上面都是A柱子上的黑球，下面k个是b柱子上面的球，而b柱子上面是k个红球。我们还原C柱子，我们把C上面的黑球移动到A，然后把B上面的k个红球移动到A最后把C柱子下面的k个球给B。这样我们就把A柱子上的红球移动到上方，而B柱子没有改变，这样一次要用m2+k2次操作。最后再把每个柱子上方的红球移动到某一个柱子上，然后移动黑球，留出一个空柱子，这样一个颜色就完成了。计算次数，因为k的总和是m，所以对于每个柱子做一遍要用n*(m2)+m2次，而对于每种颜色都做一次，要用(1+2+…n)(m2)+mn2大约是O(n^2m)的时间复杂度，在n=50,m=300大概是75万次，可以拿到70分，而在m=400时需要100万次，还是不能通过本题。
3.100分做法
我们可以发现，在70分部分分中，将柱子C还原是一个很消耗次数的操作，我们考虑为什么要还原，因为柱子C下面是原来B上方的k个球，里面可能有红球。考虑如果B是一个全黑球的柱子，在还原之前，C就是全黑球的柱子，而B上方是k个红球，A，B和C正好是还原之后的C，A和B柱子，这样我们就省下了还原的操作，操作顿时少了一半。最后只剩下一个问题，如何构造出一个全是黑球的柱子？考虑两个柱子，因为红球的个数一定小于等于m，所以黑球的个数一定大于等于m于是我们可以用70分部分分的操作把两个柱子的红球全移动到它们的上方，然后把两个柱子红球移动到空柱子，再把黑球移动到一个柱子上，最后把空柱子上的红球移动到另一个柱子上，这样就能用4m次构造出一个全是黑球的柱子。计算次数，因为不用还原，所以复杂度瓶颈nnm次操作变成了nnm/2次操作，再加上一开始和最后的处理大概nm*10次操作，总共约600000次操作，可以通过本题。
【参考代码】
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 55
#define M 410
int a[N][M], c[N];
struct {
int x, y;
}to[825000];
int ans = 0, n, m;
void mv(int x, int y) {
a[y][++c[y]] = a[x][c[x]];
a[x][c[x]--] = 0;
to[++ans].x = x, to[ans].y = y;
}
void solve(int l, int r) {
if(l == r) return;
int mid = (l + r) / 2;
int i = l, j = mid + 1, k;
while(i <= mid && j <= r) {
int s = 0;
for(k = 1; k <= m; k++) s += (a[i][k] <= mid);
for(k = 1; k <= m; k++) s += (a[j][k] <= mid);
int x = i, y = j;
if(s > m) {
int t = 0;
for(k = 1; k <= m; k++) t += (a[i][k] <= mid);
for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, n + 1);
for(k = m; k; k--) if(a[i][k] > mid) mv(i, n + 1); else mv(i, j);
for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, i);
for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, i);
for(k = t; k; k--) mv(n + 1, j);
int t0 = 0;
for(k = 1; k <= m; k++) t0 += (a[j][k] <= mid);
for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, n + 1);
for(k = m; k; k--) if(a[j][k] > mid) mv(j, n + 1); else mv(j, i);
for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, j);
for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, j);
for(k = t0; k; k--) mv(n + 1, i);
for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(i, n + 1);
for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(j, n + 1);
for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(j, i);
while(c[n + 1]) mv(n + 1, j);
i++;
}
else {
int t = 0;
for(k = 1; k <= m; k++) t += (a[i][k] > mid);
for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, n + 1);
for(k = m; k; k--) if(a[i][k] <= mid) mv(i, n + 1); else mv(i, j);
for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, i);
for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, i);
for(k = t; k; k--) mv(n + 1, j);
int t0 = 0;
for(k = 1; k <= m; k++) t0 += (a[j][k] > mid);
for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, n + 1);
for(k = m; k; k--) if(a[j][k] <= mid) mv(j, n + 1); else mv(j, i);
for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, j);
for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, j);
for(k = t0; k; k--) mv(n + 1, i);
for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(i, n + 1);
for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(j, n + 1);
for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(i, j);
while(c[n + 1]) mv(n + 1, i);
j++;
}
}
solve(l, mid), solve(mid + 1, r);
}
int main() {
int i, j, k, l;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &a[i][j]);
for(i = 1; i <= n; i++) c[i] = m;
solve(1, n);
printf("%d\n", ans);
for(i = 1; i <= ans; i++) printf("%d %d\n", to[i].x, to[i].y);
return 0;
}
标签：柱子,红球,int,题解,mid,黑球,移动,NOIP2020T3 来源： https://blog.csdn.net/yueyuedog/article/details/112322100