GNSS观测方程及线性组合
作者：互联网
GNSS观测方程及常用组合(全)
学习GNSS时经常被各种组合搞晕了，于是对各个组合的表达式和特点做了一个总结，整理不易，感谢三连。
文章目录
1. GNSS观测方程
伪距观测值和载波相位观测值作为 GNSS 数据处理中两种最基本的观测值,其基本原理是通过比较接收机端接收到的卫星信号与卫星端发射的卫星信号, 从而计算出时间差或相位差，从而计算出接收机与导航卫星之间的距离（于兴旺，2011)。其中，测距码信号的传播时间乘以光在真空中的传播速度可以得到伪距观测值，码元宽度会影响测量精度，通常为米级，(汪洋，2017)。载波相位观测值是接收机产生的基准信号与卫星发射的载波信号之间的相位差。载波相位的观测噪声为波长的 0.01 周，远优于伪距的测量精度（李征航等，2010）。
假设接收机
r
r
r 到卫星
s
s
s 在频率
f
f
f 上的伪距观测值为
P
r
,
f
s
P_{r, f}^{s}
Pr,fs ，载波相位观测值 为
Φ
r
,
f
s
,
\Phi_{r, f}^{s},
Φr,fs, 则 GNSS 基本观测方程可用下式表示:
{
P
r
,
f
s
=
ρ
r
,
f
s
+
c
⋅
t
r
,
s
y
s
−
c
⋅
t
s
+
α
s
⋅
T
z
+
β
f
⋅
I
r
s
+
c
⋅
(
b
r
,
f
−
b
f
s
+
b
t
y
p
e
(
r
)
,
f
s
)
+
ε
P
Φ
r
,
f
s
=
ρ
r
,
f
s
+
c
⋅
t
r
,
s
y
s
−
c
⋅
t
s
+
α
s
⋅
T
z
−
β
f
⋅
I
r
s
+
c
⋅
(
B
r
,
f
−
B
f
s
)
+
λ
f
⋅
(
N
r
,
f
s
+
φ
r
s
)
+
ε
ϕ
,
f
\left\{\begin{array}{l} P_{r, f}^{s}&=\rho_{r, f}^{s}+c \cdot \mathrm{t}_{r, sys}-\mathrm{c} \cdot t^{s}+\alpha^{s} \cdot T_{z}+\beta_{f} \cdot I_{r}^{s}+c \cdot\left(b_{r, f}-b_{f}^{s}+b_{t y p e(r),f}^{s}\right)+\varepsilon_{P} \\ \Phi_{r, f}^{s}&=\rho_{r, f}^{s}+c \cdot \mathrm{t}_{r, sy s}-\mathrm{c} \cdot t^{s}+\alpha^{s} \cdot T_{z}-\beta_{f} \cdot I_{r}^{s}\\ &+c \cdot\left(B_{r, f}-B_{f}^{s}\right)+\lambda_{f} \cdot\left(N_{\mathrm{r}, f}^{s}+\varphi_{r}^{s}\right)+\varepsilon_{\phi, f} \end{array}\right.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Pr,fsΦr,fs=ρr,fs+c⋅tr,sys−c⋅ts+αs⋅Tz+βf⋅Irs+c⋅(br,f−bfs+btype(r),fs)+εP=ρr,fs+c⋅tr,sys−c⋅ts+αs⋅Tz−βf⋅Irs+c⋅(Br,f−Bfs)+λf⋅(Nr,fs+φrs)+εϕ,f
上式中,
P
r
,
f
s
P_{r, f}^{s}
Pr,fs 和
Φ
r
,
f
s
\Phi_{r, f}^{s}
Φr,fs 分别表示频率
f
f
f 上的伪距观测值与载波相位观测值，单位为米
;
ρ
r
,
f
s
; \rho_{r, f}^{s}
;ρr,fs 为卫星和接收机之间的几何距离，已进行天线相位中心改正;
c
c
c 表示光在真空中的传播速度;
t
r
,
s
y
s
t_{r, s y s}
tr,sys 和
t
s
t^{s}
ts 分别表示接收机和卫星钟差参数，
s
y
s
s y s
sys 表示卫星
s
s
s的系统（GPS、BDS、GLONASS、Galileo 等
)
;
α
s
) ; \alpha^{s}
);αs 和
T
z
T_{z}
Tz 分别为对流层投影函数和天顶对流层迟，I
r
s
_{r}^{s}
rs 为测站
r
r
r 到卫星
s
s
s 斜路径电离层延迟,
β
f
\beta_{f}
βf 表示与频率相关的因子;
b
r
,
f
b_{r, f}
br,f 和
b
f
s
b_{f}^{s}
bfs 分别表示与接收机和卫星相关的伪距硬件延迟偏差，
b
t
y
p
e
(
r
)
,
f
s
b_{t y p e(r), f}^{s}
btype(r),fs 代 表与“接收机-卫星”对相关的伪距偏差，对同一卫星，
b
t
y
p
e
(
r
)
,
f
s
b_{t y p e(r), f}^{s}
btype(r),fs 与具体的接收机类型相关 (Gong et al.2018)。需要说明的是，GLONASS 卫星采用 FDMA 技术,其
b
type
(
r
)
,
f
s
b_{\text {type }(r), f}^{s}
btype (r),fs 除了与接收机类型有关外，还存在与接收机天线的相关性。因此, GLONASS 卫星的
b
t
y
p
e
(
r
)
,
f
s
b_{t y p e(r), f}^{s}
btype(r),fs 对于每个“接收机-卫星”对而言，一般独立估计为一 个参数（Zhang et al.2017）。
B
r
,
f
B_{r, f}
Br,f 和
B
f
s
B_{f}^{s}
Bfs 表示与接收机卫星相关的相位延迟偏差。
λ
f
\lambda_{f}
λf与
N
f
N_{f}
Nf 分别表示相位观测值的波长及整周模糊度，
φ
r
s
\varphi_{r}^{s}
φrs 表示天线相位脏绕。
ε
P
r
,
f
\varepsilon_{P_{r, f}}
εPr,f 与
ε
Φ
r
,
f
\varepsilon_{\Phi_{r, f}}
εΦr,f 分别表示伪距及相位观测值的噪声项。
2.同类型不同频率观测值的线性组合
1.组合标准
L
1
\mathrm{L}_{1}
L1 的载波相位观测值
Φ
^
1
\widehat{\Phi}_{1}
Φ
1 和
L
2
\mathrm{L}_{2}
L2 的载波相位观测值
Φ
^
2
\widehat{\Phi}_{2}
Φ
2 间的线性组合的一般形式为:
ϕ
a
,
m
=
n
Φ
1
~
+
m
Φ
2
~
\phi_{\mathrm{a}, \mathrm{m}}=\mathrm{n} \widetilde{\Phi_{1}}+\mathrm{m} \widetilde{\Phi_{2}}
ϕa,m=nΦ1
+mΦ2
下面不加证明给出线性组合观测值
ϕ
n
,
m
\phi_{n, \mathrm{~m}}
ϕn, m 的相应频率
f
n
,
m
\mathrm{f}_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}
fn,m 波长
λ
n
,
m
\lambda_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}
λn,m 、整周模糊度
N
n
,
m
\mathrm{N}_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}
Nn,m 、电离层延
迟改正
(
V
ion
)
n
,
m
\left(\mathrm{V}_{\text {ion }}\right)_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}
(Vion )n,m 、测量噪声
σ
ϕ
n
,
m
\sigma_{\phi_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}}
σϕn,m 等与
L
1
\mathrm{L}_{1}
L1 和
L
2
\mathrm{L}_{2}
L2 中的相应值之间的关系式：
f
n
,
m
=
n
f
1
+
m
f
2
λ
n
,
m
=
c
/
f
n
,
m
N
n
,
m
=
n
N
1
+
m
N
2
(
V
i
o
n
)
n
,
m
=
−
A
c
f
1
⋅
f
2
⋅
n
f
2
+
m
f
1
n
f
1
+
m
f
2
\begin{array}{l} \mathrm{f}_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}=\mathrm{nf}_{1}+\mathrm{mf}_{2} \\ \lambda_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}=\mathrm{c} / \mathrm{f}_{\mathrm{n}, \mathrm{m}} \\ \mathrm{N}_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}=\mathrm{nN}_{1}+\mathrm{mN}_{2} \\ \left(\mathrm{~V}_{\mathrm{ion}}\right)_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}=-\frac{\mathrm{Ac}}{\mathrm{f}_{1} \cdot \mathrm{f}_{2}} \cdot \frac{\mathrm{nf}_{2}+\mathrm{mf}_{1}}{\mathrm{nf}_{1}+\mathrm{mf}_{2}} \end{array}
fn,m=nf1+mf2λn,m=c/fn,mNn,m=nN1+mN2( Vion)n,m=−f1⋅f2Ac⋅nf1+mf2nf2+mf1
式中:
A
=
−
40.3
∫
s
\mathrm{A}=-40.3 \int_{\mathrm{s}}
A=−40.3∫s NedS ; c 为真空中的光速。
σ
ϕ
m
,
m
=
(
n
σ
ϕ
1
)
2
+
(
m
σ
α
˙
2
)
2
(以相位为单位
)
\sigma_{\phi_{\mathrm{m}, \mathrm{m}}}=\sqrt{\left(\mathrm{n} \sigma_{\phi_{1}}\right)^{2}+\left(\mathrm{m} \sigma_{\dot{\alpha}_{2}}\right)^{2}} \quad \text { (以相位为单位 })
σϕm,m=(nσϕ1)2+(mσα˙2)2
(以相位为单位 )
若我们希望新组成的观测值
ϕ
a
,
m
\phi_{\mathrm{a}, \mathrm{m}}
ϕa,m 的模糊度仍能保持整数特性,那么
n
\mathrm{n}
n 和
m
\mathrm{m}
m 均应为整数。显然, 若不加任何 限制的话,可组戌无穷多种不同的线性组合观测值。而我们关心的仅仅是那些对 GPS 测量有实际价值和实际意义的线性组合观测值, 这些观测值至少应符合下列标准之一:
(1) 线性组合后构成的新“观测值"应能保持模糊度的整数特性, 以利于正确确定整数模糊度度。
(2) 线性组合后构戌的新“观测值"应具有适当的波长。
(3) 线性组合后组成的新“观测值”应不受或基本不受电离层折射的影响。
(4) 线性组合咸构戌的新“ 观测值”应具有较小的测量噪声。
根据这些标准, 我们组合成一些常用的线性组合,现分别予以介绍。
2. 窄巷组合
窄巷组合中n=m=1，保留了模糊度的整周特性, 同时窄巷组合与宽巷组合中的电离层
延迟项大小相等，符号相反，因此通常联合宽巷及窄巷组合观测值用于整数模糊
度解算。窄巷组合的表达如下:
{
L
n
=
f
1
f
1
−
f
2
L
1
+
f
1
f
1
−
f
2
L
2
φ
n
=
φ
1
+
φ
2
\left\{\begin{array}{l} L_{n}=\frac{f_{1}}{f_{1}-f_{2}} L_{1}+\frac{f_{1}}{f_{1}-f_{2}} L_{2} \\ \varphi_{n}=\varphi_{1}+\varphi_{2} \end{array}\right.
{Ln=f1−f2f1L1+f1−f2f1L2φn=φ1+φ2
窄巷组合观测值的波长
λ
n
\lambda_{n}
λn 为
0.107
m
,
0.107 \mathrm{~m},
0.107 m, 约为宽巷观测值的
1
/
8
,
1 / 8,
1/8, 因而窄巷组合观测值的模糊度较难固定
3.宽巷组合
宽巷观测值
ϕ
Δ
\phi_{\Delta}
ϕΔ 为
ϕ
1
\phi_{1}
ϕ1 与
ϕ
2
\phi_{2}
ϕ2 之差
(
n
=
+
1
,
m
=
−
1
)
(\mathrm{n}=+1, \mathrm{~m}=-1)
(n=+1, m=−1) :
ϕ
Δ
=
ϕ
−
ϕ
2
\phi_{\Delta}=\phi-\phi_{2}
ϕΔ=ϕ−ϕ2
其对应的频率
f
Δ
=
f
1
−
f
2
=
347.82
M
H
z
,
\mathrm{f}_{\Delta}=\mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{2}=347.82 \mathrm{MHz},
fΔ=f1−f2=347.82MHz, 对应的波长
λ
Δ
=
86.19
c
m
,
\lambda_{\Delta}=86.19 \mathrm{~cm},
λΔ=86.19 cm, 对应的整周模糊度
N
Δ
=
N
1
\mathrm{N}_{\Delta}=\mathrm{N}_{1}
NΔ=N1
−
N
2
.
-\mathrm{N}_{2} .
−N2. 当
σ
ϕ
1
=
σ
ϕ
2
=
0.01
\sigma_{\phi_{1}}=\sigma_{\phi_{2}}=0.01
σϕ1=σϕ2=0.01 周时,
σ
ϕ
Δ
=
0.01
\sigma_{\phi_{\Delta}}=0.01
σϕΔ=0.01 ・
2
\sqrt{2}
2
周, 其相应的距离测量噪声 $\sigma_{\Delta}=1.22 \mathrm{~cm} $
由于宽巷观测值的波长达
86
c
m
,
86 \mathrm{~cm},
86 cm, 因而很容易准确确定其整 周模糊度。据 国外资料报道,只需用几十秒钟的双频
P
\mathrm{P}
P 码观测值即可准确确定宽巷观测值的整周模糊度
N
n
,
m
∘
⟶
\mathrm{N}_{\mathrm{n}, \mathrm{m} \circ} \longrightarrow
Nn,m∘⟶ 日
N
n
,
m
\mathrm{N}_{\mathrm{n}, \mathrm{m}}
Nn,m 被正确确定，我们就能以
1.22
c
m
1.22 \mathrm{~cm}
1.22 cm 的测量噪声来测定从卫星至接 收机的距离
(
(
( 顾及电离层延迟的实用公式见 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲4.3 .3), 进而准确确定
N
1
\mathrm{N}_{1}
N1 和
N
2
∘
\mathrm{N}_{2} \circ
N2∘ 由于测量噪声较大,所以宽巷观测值一般并不用于最终的定位, 而是将其作为一种中间 过程来确定
L
1
\mathrm{L}_{1}
L1 和
L
2
\mathrm{L}_{2}
L2 的整 周模糊度。
4.无电离层组合
电离层延迟误差与信号频率有关，其一阶项与信号频率的平方成反比。对于双频或多频观测值，可以通过选取特定的组合系数，对同类观测值在不同频率之间进行线性组合，以消除电离层延迟误差的影响，同时还可以保留几何信息。目前，无电离组合被广泛的应用在 GNSS 数据处理中。对于 GNSS 观测值，第
i
,
j
i, j
i,j 频率上的伪距和相位观测值的无电离层组合模型可以表达为下式:
{
P
r
,
I
F
(
i
,
j
)
s
=
f
i
2
⋅
P
r
,
i
s
f
i
2
−
f
j
2
−
f
j
2
⋅
P
r
,
j
s
f
i
2
−
f
j
2
L
r
,
I
F
(
i
,
j
)
=
f
i
2
⋅
L
r
,
i
s
f
i
2
−
f
j
2
−
f
j
2
⋅
L
r
,
j
s
f
i
2
−
f
j
2
\left\{\begin{aligned} P_{r, I F(i, j)}^{s} &=\frac{f_{i}^{2} \cdot P_{r, i}^{s}}{f_{i}^{2}-f_{j}^{2}}-\frac{f_{j}^{2} \cdot P_{r, j}^{s}}{f_{i}^{2}-f_{j}^{2}} \\ L_{r, I F(i, j)} &=\frac{f_{i}^{2} \cdot L_{r, i}^{s}}{f_{i}^{2}-f_{j}^{2}}-\frac{f_{j}^{2} \cdot L_{r, j}^{s}}{f_{i}^{2}-f_{j}^{2}} \end{aligned}\right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Pr,IF(i,j)sLr,IF(i,j)=fi2−fj2fi2⋅Pr,is−fi2−fj2fj2⋅Pr,js=fi2−fj2fi2⋅Lr,is−fi2−fj2fj2⋅Lr,js
上式中,
P
r
,
I
F
(
i
,
j
)
s
P_{r, I F(i, j)}^{s}
Pr,IF(i,j)s 表示
i
,
j
i, j
i,j 频率上的伪距无电离层组合观测值,
L
r
,
I
F
(
i
,
j
)
s
L_{r, I F(i, j)}^{s}
Lr,IF(i,j)s 则表 示
i
,
j
i, j
i,j 频率上的相位无电离层组合观测值。无电离层组合观测值消除了一阶电离层延迟误差，但是同时观测噪声被放大, 模糊度不具有整数特性。其中，越是频率相近的观测值,组合观测值的放大倍数越大。
根据不同变量选取，有三种组合方式，详情见：https://blog.csdn.net/wuwuku123/article/details/106497131/
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3.不同类型双频观测值的组合
1. MW组合
MW 组合是 Melbounbe 和 Wubbena1985 年提出的，其组.合形式为不同频率上的伪距和相位观测值进行线性组合，表达形式如下:
L
M
W
=
1
f
1
−
f
2
(
f
1
L
1
−
f
2
L
2
)
+
c
f
1
−
f
2
(
N
1
−
N
2
)
−
1
f
1
+
f
2
(
f
1
P
1
+
f
2
P
2
)
L_{M W}=\frac{1}{f_{1}-f_{2}}\left(f_{1} L_{1}-f_{2} L_{2}\right)+\frac{c}{f_{1}-f_{2}}\left(\mathrm{~N}_{1}-\mathrm{N}_{2}\right)-\frac{1}{f_{1}+f_{2}}\left(f_{1} P_{1}+f_{2} P_{2}\right)
LMW=f1−f21(f1L1−f2L2)+f1−f2c( N1−N2)−f1+f21(f1P1+f2P2)
上式中，LMW 表示 MW 组合观测值,
L
1
,
L
2
L_{1}, L_{2}
L1,L2 分别表示两个频率上的载波相位观测值，单位均为米;
P
1
,
P
2
\quad P_{1}, P_{2}
P1,P2 则分别表示两个频率上的伪距观测量，同样，单位为米;
f
1
,
f
2
\quad \mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{2}
f1,f2 分别表示进行组合的频率
;
N
1
,
N
2
; \mathrm{N}_{1}, \mathrm{~N}_{2}
;N1, N2 分别表示两个频率载波相位观测值的模糊度。
MW 组合形式可以消除多数误差，除电离层延迟误差外，也消除了包括卫星钟、接收机钟、站-星间几何距离等的影响，组合后的观测值仅残余观测噪声、多路径误差、及模糊度线性组合。上述误差项中，观测噪声及多路径效应的影响可通过历元间平滑减弱或者进行消除。此外，组合后的模糊度与原始模糊度仍保持线性关系，因而经常用于辅助周跳探测及整周模糊度确定。
2.电离层残差组合
常用的电离层残差组合观测值（Geometry-Free Combination, GF）可表示如 下:
L
G
F
=
L
1
−
L
2
L_{G F}=L_{1}-L_{2}
LGF=L1−L2
电离层残差组合消除了与频率无关的误差，如卫星轨道、接收机、卫星钟差 以及对流层误差的影响，组合后的观测值与接收机至卫星的几何距离无关，仅包含电离层影响、整周模糊度及与频率相关的观测噪声。一般在未发生周跳的情况 下，整周模糊度保持不变，且电离层影响变化缓慢，适用于观测值粗差的易除、周跳的探测和修复。
3.不同类型的单频观测值间的线性组合
伪距测量观测方程和载波相位测量观测方程可简化为下列形式:
{
P
1
=
ρ
+
A
f
1
2
P
2
=
ρ
+
A
f
2
2
ϕ
1
=
ρ
λ
1
−
A
c
f
1
−
N
1
ϕ
2
=
ρ
λ
2
−
A
c
f
2
−
N
2
\left\{\begin{array}{l} \mathrm{P}_{1}=\rho+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{f}_{1}^{2}} \\ \mathrm{P}_{2}=\rho+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{f}_{2}^{2}} \\ \phi_{1}=\frac{\rho}{\lambda_{1}}-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{cf}_{1}}-\mathrm{N}_{1} \\ \phi_{2}=\frac{\rho}{\lambda_{2}}-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{cf}_{2}}-\mathrm{N}_{2} \end{array}\right.
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧P1=ρ+f12AP2=ρ+f22Aϕ1=λ1ρ−cf1A−N1ϕ2=λ2ρ−cf2A−N2
式中，
ρ
\rho
ρ为卫星至接收机的距离与所有与频率无关的偏差改正项之和, 其余符号的含义同前。由于测码伪距观测值和载波相位观测值所受到的电离层延迟大小相同、符号相反, 故利用单频伪距观测值
ρ
\rho
ρ 和载波相位观测值
ϕ
\phi
ϕ 也能消除电离层延迟(为方便起见,在公式 中不再加注下标“
1
"
)
1 ")
1") 。 将式 中第 1 项与第 3 项作如下变换：
(
ϕ
1
+
P
)
/
2
=
[
(
ρ
λ
1
−
A
c
f
1
−
N
1
]
λ
1
+
ρ
+
A
f
1
2
]
/
2
\left(\phi_{1}+\mathrm{P}\right) / 2=\left[\left(\frac{\rho}{\lambda_{1}}-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{cf}_{1}}-\mathrm{N}_{1}\right] \lambda_{1}+\rho+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{f}_{1}^{2}}\right] / 2
(ϕ1+P)/2=[(λ1ρ−cf1A−N1]λ1+ρ+f12A]/2
整理后得：
P
+
ϕ
λ
2
=
ρ
−
N
λ
2
\frac{\mathrm{P}+\phi \lambda}{2}=\rho-\frac{\mathrm{N} \lambda}{2}
2P+ϕλ=ρ−2Nλ
单点定位时采用上述线性组合观测值可显著改善解的精度。上述“观测值”的噪声主要来源于伪距测量的噪声，为保证精度,通常需进行较长时间的观测。
4.三频线性组合
随着 GNSS 的发展，越来越多的卫星导航系统支持三频甚至多频观测信号，这在客观上增加了观测数据的咒余，同时，线性组合形式和特性也更为丰富，为三频或多频观测值周跳的探测与修复，以及相位模糊度的固定带来了新的机会 。 三频几何模式（Geometry-based）的伪距和载波相位观测值线性组合表示如 下式:
L
(
i
,
j
,
k
)
=
i
⋅
f
1
⋅
L
1
+
j
⋅
f
2
⋅
L
2
+
k
⋅
f
3
⋅
L
3
i
⋅
f
1
+
j
⋅
f
2
+
k
⋅
f
3
L_{(i, j, k)}=\frac{i \cdot f_{1} \cdot L_{1}+j \cdot f_{2} \cdot L_{2}+k \cdot f_{3} \cdot L_{3}}{i \cdot f_{1}+j \cdot f_{2}+k \cdot f_{3}}
L(i,j,k)=i⋅f1+j⋅f2+k⋅f3i⋅f1⋅L1+j⋅f2⋅L2+k⋅f3⋅L3
P
(
l
,
m
,
n
)
=
l
⋅
P
1
+
m
⋅
P
2
+
n
⋅
P
3
P_{(l, m, n)}=l \cdot P_{1}+m \cdot P_{2}+n \cdot P_{3}
P(l,m,n)=l⋅P1+m⋅P2+n⋅P3
式中，组合系数
i
,
j
,
k
i, j, k
i,j,k 为整数， $ l, m, n$ 组合系数为实数， 且满足
l
+
m
+
n
=
1
l+m+n=1
l+m+n=1;
P
,
L
P, L
P,L 表示各个频率上的伪距和相位观测值,
f
f
f 是对应频率。组合观测值的波长、整周模糊度和电离层放大系数为:
λ
(
i
,
j
,
k
)
=
c
i
⋅
f
1
+
j
⋅
f
2
+
k
⋅
f
3
N
(
i
,
j
,
k
)
=
i
⋅
N
1
+
j
⋅
N
2
+
k
⋅
N
3
β
(
i
,
j
,
k
)
=
f
1
2
⋅
(
i
/
f
1
+
j
/
f
2
+
k
/
f
3
)
i
⋅
f
1
+
j
⋅
f
2
+
k
⋅
f
3
β
(
l
,
m
,
n
)
=
l
+
m
⋅
f
1
2
/
f
2
2
+
n
⋅
f
1
2
/
f
3
2
\begin{array}{c} \lambda_{(i, j, k)}=\frac{c}{i \cdot f_{1}+j \cdot f_{2}+k \cdot f_{3}} \\ N_{(i, j, k)}=i \cdot N_{1}+j \cdot N_{2}+k \cdot N_{3} \\ \beta_{(i, j, k)}=\frac{f_{1}^{2} \cdot\left(i / f_{1}+j / f_{2}+k / f_{3}\right)}{i \cdot f_{1}+j \cdot f_{2}+k \cdot f_{3}} \\ \beta_{(l, m, n)}=l+m \cdot f_{1}^{2} / f_{2}^{2}+n \cdot f_{1}^{2} / f_{3}^{2} \end{array}
λ(i,j,k)=i⋅f1+j⋅f2+k⋅f3cN(i,j,k)=i⋅N1+j⋅N2+k⋅N3β(i,j,k)=i⋅f1+j⋅f2+k⋅f3f12⋅(i/f1+j/f2+k/f3)β(l,m,n)=l+m⋅f12/f22+n⋅f12/f32
上述线性观测值中组合系数可以是任意整数，因此可以得到无穷多个三频线性组合观测量。因此，需要根据使用场景确定一定的标准来选取较优的一组或几组观测几何量。一般要求三频线性组合观测值满足如下三个要求:
(1) 线性组合后的新“观测值”应具有适当的波长;
(2) 线性组合后的新“观测值”应具有比较小的测量噪声;
(3) 线性组合后的新“观测值”的电离层放大系数应尽量小。
##5.MP组合
MP组合首次由 Rocken和 Estey提 出( Rocken et al., 1992; Estey et al., 1999), 是由单频伪距观测值和双频相位观测值组成的线性组合，由于使用单站多频观测数据形成 MP 组合即可单独分析各个频点码观测值特性，因此常用于分析码观测值的高频多路径影响:
M
P
i
=
P
i
−
f
i
2
+
f
j
2
f
i
2
−
f
j
2
L
i
+
2
f
j
2
f
i
2
−
f
j
2
L
j
+
Bias
i
+
m
M
P
+
ε
i
M P_{i}=P_{i}-\frac{f_{i}^{2}+f_{j}^{2}}{f_{i}^{2}-f_{j}^{2}} L_{i}+\frac{2 f_{j}^{2}}{f_{i}^{2}-f_{j}^{2}} L_{j}+\text {Bias}_{i}+m_{M P}+\varepsilon_{i}
MPi=Pi−fi2−fj2fi2+fj2Li+fi2−fj22fj2Lj+Biasi+mMP+εi
其中:
- i、 j ( i , j = 1 , 2 , 3 , i ≠ j ) j(i, j=1,2,3, i \neq j) j(i,j=1,2,3,i=j) 表示不同的信号频率， f i 、 f j f_{i} 、 f_{j} fi、fj 为对应的频率，单位为 H Z H Z HZ;
- L i 、 L j L_{i} 、 L_{j} Li、Lj 为对应频率的载波观测值，单位为 m m m;
- P i , P j P_{i}, P_{j} Pi,Pj 为对应频率的伪距观测值，单位为 m m m;
- M P i M P_{i} MPi 是星内多路径组合单位为 m ; m ; m;
- m M P m_{M P} mMP 是组合观测值的多路径误差，单位为 m ;
- $ Bias$ 包含了相位模糊度和硬件延迟信息，如果在连续观测且没有发生周跳的情况下会保持常数特性 ε i \varepsilon_{i} εi 是组合观测值的噪声。
可以看出 : 上述 MP 线性组合消除了电离层和对流层误差，所有几何相关的误差，如卫星轨道、钟差等误差，仅残余模糊度、硬件延迟偏差、多路径误差和噪声等。而模糊度与其余部分误差相关，无法分离，因此无法获得绝对的多路径误差，一般通过扣除弧段均值进行平滑以得到 MP 组合的变化序列。虽然 MP 组合序列主要反映高频多路径和码观测值的测量噪声，常用于提取和分析星内多路径影响，但群延迟变化 GDV 相关信息主要包含在其低频部分，因此，MP 组合也是提取群延迟变化信息的关键。
多路径误差和噪声等。而模糊度与其余部分误差相关，无法分离，因此无法获得绝对的多路径误差，一般通过扣除弧段均值进行平滑以得到 MP 组合的变化序列。虽然 MP 组合序列主要反映高频多路径和码观测值的测量噪声，常用于提取和分析星内多路径影响，但群延迟变化 GDV 相关信息主要包含在其低频部分，因此，MP 组合也是提取群延迟变化信息的关键。
标签：方程,frac,组合,cdot,观测,GNSS,线性组合,mathrm 来源： https://blog.csdn.net/hyisoe/article/details/112320502