假设检验
作者：互联网
假设检验的基本思想
以“女士品茶”为例，对于该女士有没有品茶的能力，有两种假设：该女士没有品茶能力和该女士有品茶能力。在统计上这两个非空不相交参数集合称作统计假设，简称假设。通过样本对一个假设作出对与不对的判断，则称为该假设的一个检验。若检验结果否定该命题，则称拒绝这个假设，否则就**接受（不拒绝）**这个假设。
假设可分为两种：
- 参数假设检验，即已经知道数据的分布，针对总体的某个参数进行假设检验；
- 非参数假设检验，即数据分布未知，针对该分布进行假设检验。
假设检验的基本步骤
- 建立假设
- 选择检验统计量，给出拒绝域形式
- 选择显著性水平
- 给出拒绝域
- 做出判断
Step 1：建立假设
主要针对参数假设检验问题
设有来自某分布族 { F ( x , θ ) ∣ θ ∈ Θ } \{F(x,\theta)|\theta\in\Theta\} {F(x,θ)∣θ∈Θ}的样本 x 1 , . . . , x n x_1,...,x_n x1,...,xn，其中 Θ \Theta Θ为参数空间，设 Θ 0 ∈ Θ \Theta_0\in\Theta Θ0∈Θ，且 Θ 0 ≠ ϕ \Theta_0\neq\phi Θ0=ϕ，则命题 H 0 : θ ∈ Θ 0 H_0:\theta\in\Theta_0 H0:θ∈Θ0称为原假设或零假设（null hypothesis），若有另一个 Θ 1 \Theta_1 Θ1（ Θ 1 ∈ Θ , Θ 1 Θ 0 = ϕ \Theta_1\in\Theta,\Theta_1\Theta_0=\phi Θ1∈Θ,Θ1Θ0=ϕ，常见的一种情况是 Θ 1 = Θ − Θ 0 \Theta_1=\Theta-\Theta_0 Θ1=Θ−Θ0），则命题 H 1 : θ ∈ Θ 1 H_1:\theta\in\Theta_1 H1:θ∈Θ1称为 H 0 H_0 H0的对立假设或备择假设（alternative hypotheis），当 H 0 H_0 H0为简单假设，即 Θ 0 \Theta_0 Θ0只含一个点时，备择假设有三种可能： H 1 ′ : θ ≠ θ 0 H_1':\theta\neq\theta_0 H1′:θ=θ0， H 1 ′ ′ : θ < θ 0 H_1'':\theta<\theta_0 H1′′:θ<θ0， H 1 ′ ′ ′ : θ > θ 0 H_1''':\theta>\theta_0 H1′′′:θ>θ0。
Step 2：选择检验统计量，给出拒绝域形式
根据样本计算统计量 Z Z Z（如样本均值、标准差等，称为检验统计量），并基于某个法则既可以决定接受 H 0 H_0 H0还是拒绝 H 0 H_0 H0，具体地，当统计量在拒绝域 W W W中即拒绝 H 0 H_0 H0，在接受域 W ‾ \overline{W} W中即接受 H 0 H_0 H0。由此可见，一个拒绝域 W W W唯一确定一个检验法则，反之，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域。
注：不能用一个样本（例子）证明一个命题（假设成立），但是可以用一个样本（例子）去推翻一个命题。此外，拒绝域与接受域之间有一个模糊域，即统计量恰好符合法则，通常将模糊域归为接受域，因此接受域是复杂的。
Step 3：选择显著性水平
假设检验基于小概率事件，即小概率事件在一次试验中几乎不会发生，因此选择一个很小的概率值 α \alpha α，令 p ( 拒 绝 H 0 ∣ H 0 为 真 ) ≤ α p(拒绝H_0|H_0为真)\leq\alpha p(拒绝H0∣H0为真)≤α，表示 Z ∈ W Z\in W Z∈W是一个小概率事件，在一次试验中不应该发生。如果通过样本得到的统计量 z ∈ W z\in W z∈W，即不该发生的小概率事件竟然发生了，那么应该拒绝 H 0 H_0 H0。
由于向本是随机的，通常做检验时可能做出错误判断，由此引入了两个错误，分别为第一类错误和第二类错误，如下表所示：
| 观测数据情况 | 总体情况 | 总体情况 |
|---|---|---|
| H 0 H_0 H0为真 | H 1 H_1 H1为真 | |
| 接受 H 0 H_0 H0 | 第一类错误（拒真） | 正确 |
| 拒绝 H 0 H_0 H0 | 正确 | 犯第二类错误（取伪） |
犯第一类错误概率： α = P ( X ∈ W ∣ H 0 ) \alpha=P(X\in W|H_0) α=P(X∈W∣H0)，即 α = P ( 拒 绝 H 0 ∣ H 0 为 真 ) \alpha=P(拒绝H_0|H_0为真) α=P(拒绝H0∣H0为真)；
犯第二类错误概率： β = P ( X ∈ W ‾ ∣ H 1 ) \beta=P(X\in \overline{W}|H_1) β=P(X∈W∣H1)，即 β = P ( 接 受 H 0 ∣ H 0 为 假 ) \beta=P(接受H_0|H_0为假) β=P(接受H0∣H0为假)。
可以证明的，在一定样本量下，两类错误概率无法共同减小，但是当样本增加时，可以同时减小。
证明该问题需要引入是函数，下面将简单介绍势函数，但不对上述结论证明。
定义：设检验问题
H
0
:
θ
∈
Θ
0
v
s
H
1
:
θ
∈
Θ
1
H_0:\theta\in\Theta_0\quad vs\quad H_1:\theta \in \Theta_1
H0:θ∈Θ0vsH1:θ∈Θ1的拒绝域为
W
W
W，则样本观测值
X
\mathbf{X}
X落在拒绝域
W
W
W内的概率称为该检验的势函数，记为
g ( θ ) = P θ ( X ∈ W ) , θ ∈ Θ = Θ 0 ∪ Θ 1 g ( θ ) = { α ( θ ) θ ∈ Θ 0 1 − β ( θ ) θ ∈ Θ 1 g(\theta)=P_\theta(\mathbf{X}\in W),\ \theta\in\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1\\ g(\theta)=\left\{\begin{matrix} \alpha(\theta) & \theta\in\Theta_0\\ 1-\beta(\theta) &\theta\in\Theta_1 \end{matrix}\right. g(θ)=Pθ(X∈W), θ∈Θ=Θ0∪Θ1g(θ)={α(θ)1−β(θ)θ∈Θ0θ∈Θ1
第一类错误概率 α \alpha α即为初始设定的很小的概率，称为置信水平，称该检验时显著性水平为 α \alpha α的显著性检验，简称水平为 α \alpha α的检验。为了尽量减少两类错误，可简单的将其简化为减小第一类错误概率（第二类错误概率难求）。常用的 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05有时也选择0.1或0.01。
Step 4：给出拒绝域
为了使得第一类错误的概率尽可能小，给定一个较小的 α \alpha α，并选择一个数 k k k，设定若 Z ≥ k Z\geq k Z≥k拒绝 H 0 H_0 H0，使得 P ( u = ∣ z − μ σ / n ∣ ≥ k ) ≤ α P(u=|\frac{z-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}|\geq k)\leq \alpha P(u=∣σ/n z−μ∣≥k)≤α，所以 k = u α / 2 k=u_{\alpha/2} k=uα/2。
注：算拒绝域时，需基于标准正态分布。
Step 5：做出判断
通过样本计算统计量，若统计量在拒绝域中，则拒绝原假设，否则接受原假设。
检验的 p p p 值
不同置信水平 α \alpha α的取值，可能会存在不同的结果。因此引入新的指标，即利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著水平，称为检验的 p p p值。由检验的 p p p值与心目中的显著性水平 α \alpha α进行比较，可以容易做出检验结论：
- 若 α ≥ p \alpha\geq p α≥p，则在显著性水平 α \alpha α下拒绝 H 0 H_0 H0；
- 若 α < p \alpha<p α<p，则在显著性水平 α \alpha α下接受 H 0 H_0 H0.
注：一般以 p < 0.05 p<0.05 p<0.05 为有统计学差异， p < 0.01 p<0.01 p<0.01 为有显著统计学差异， p < 0.001 p<0.001 p<0.001为有极其显著的统计学差异。
标签：theta,假设,H0,假设检验,alpha,Theta,拒绝域 来源： https://blog.csdn.net/zyziszy/article/details/112162606