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关于矩阵树定理的一些证明

作者:互联网

关于矩阵树定理的一些证明

在重新做今年联合省选的题目的时候发现对于矩阵树的本质了解得并不清楚
所以去研究了一下矩阵树应该要如何证明, 应该是对理解有一些帮助的

定理

给定一个图 \(G\), 定义其基尔霍夫矩阵 \(L = D - A\), \(D\) 为该图的度数矩阵, \(A\) 为该图的邻接矩阵, 那么这张图的生成树个数即为 \(L\) 的任一代数余子式的值

关于基尔霍夫矩阵的一些性质

以下称基尔霍夫矩阵为 \(L\), 将 \(L\) 去掉第 \(i\) 行和第 \(i\) 列的子矩阵称为 \(M_i\)

性质1

\(|L| = 0\)

证明1

考虑到 \(L = D - A\), 所以 \(L\) 任意一行的元素的和都为 0 , 由行列式基本变换, 将所有列累加到第一列即可得到一个全 0 列, 也即 \(|L| = 0\)

性质2

\(L\) 任一代数余子式的值都相同

性质3

一个不连通图 \(G\) 的 \(L\) 及 \(M_i\) 的行列式为 0

证明3

不妨设该连通图的强连通分量分别为 \(G_1, G_2, G_3, \dots, G_k\), 我们可以将 \(L\) 变换为以下形式

\[L = \begin{matrix} L_1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & L_2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & L_3 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & L_k \end{matrix} \]

其中 \(L_i\) 为 \(G_i\) 的基尔霍夫矩阵, 由性质1, \(\forall L_i, |L_i| = 0\)
又 \(k \geq 2\) , 所以任一子矩阵都会包含至少一个完整的 \(L_i\)
所以 \(|L|, |M_i|\) 均为 0

性质4

一棵树 \(G\) 的基尔霍夫矩阵的代数余子式的值为 1

证明4

考虑归纳证明
在这里认为一个空矩阵的代数余子式为 1
对于二阶基尔霍夫矩阵显然成立
不妨假设对于 \(i \in [1, n - 1]\) 阶矩阵性质4均成立, 下面证明对于 \(n\) 阶矩阵也成立
首先可将 \(M_i\) 看做是删去 \(i\) 点并在子图的基尔霍夫矩阵上将与 \(i\) 点有连边的点的度数加一所形成的新的矩阵
我们可以像证明3那样将一个联通块中的点都相邻地堆在对角线上
由于联通块之间没有连边, 我们可以像处理块状矩阵那样去处理对角线上的每一个小矩阵, 将其行列式的值乘起来即为 \(M_i\)
对于对角线上的某个小矩阵 \(L_i\), 它是由子图 \(G_i\) 的基尔霍夫矩阵上某一个点度数加一变换过来的
那么我们假设去掉了这个点所在的这一行和这一列的矩阵为 \(T_i\)
由上述假设, 容易得到 \(|T_i| = 1\)
我们再重新把这一行和这一列加回去
在原来的基尔霍夫矩阵中, 经过若干次初等变换之后, 这个在对角线上的元的值为 0
但是我们现在把他的值加了 1, 所以这个对角元变换后的值也会加 1
所以 \(|L_i| = 1\), 即 \(|M_i| = 1\)

标签:dots,基尔霍夫,定理,矩阵,证明,对角线,余子式
来源: https://www.cnblogs.com/ztlztl/p/14226515.html